次方求模 http://acm.nyist.net/JudgeOnline/problem.php?pid=102

 

次方求模

时间限制：1000 ms  |  内存限制：65535 KB

难度：3

 

描述

求a的b次方对c取余的值

 

 

输入

第一行输入一个整数n表示测试数据的组数（n<100）
每组测试只有一行，其中有三个正整数a,b,c(1=<a,b,c<=1000000000)

输出

输出a的b次方对c取余之后的结果

样例输入

3
2 3 5
3 100 10
11 12345 12345

样例输出

3
1
10481

来源

[张云聪]原创

上传者

张云聪

#include<stdio.h>
long long fun(long long a,long long b,long long c)
{
     long long r=a%c;
     long long k=1;
     while(b)
     {
             if (b&1)
             　　k=(k*r)%c;
              r=(r*r)%c;
               b>>=1;
     }
     return k;
}
int main()
{
	int n;
	scanf("%d",&n);
	while(n--)
	{
		long a,b,c,count;
		scanf("%d %d %d",&a,&b,&c);
		count=fun(a,b,c);
		printf("%d\n",count);
	}
	return 0;
}

看着代码很简单，可是背后蕴含了多少了汗水啊！看一下算法吧：其实就是a^29=a^14*a,而a^14=a^7*a^7,a^7=a^3*a^3,a^3=a^2*a,这样求a^29就用了7次乘法，不知你有没有发现，这和二分法查找很相似，每次规模都近视减少了一半。注意long long 的使用，否则就会溢出，得不到正确答案。

补充：

利用模运算的运算规则，我们可以使某些计算得到简化。例如，我们想知道3333^5555的末位是什么。很明显不可能直接把3333^5555的结果计算出来，那样太大了。但我们想要确定的是3333^5555（%10），所以问题就简化了。

根据运算规则（4）a^b% p = ((a % p)^b) % p ，我们知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由于3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。

根据运算规则（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由于5555 = 4 * 1388 + 3，我们得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）

=（1 * 7）（%10）= 7。

计算完毕。

利用这些规则我们可以有效地计算X^N(% P)。简单的算法是将result初始化为1，然后重复将result乘以X，每次乘法之后应用%运算符（这样使得result的值变小，以免溢出），执行N次相乘后，result就是我们要找的答案。

这样对于较小的N值来说，实现是合理的，但是当N的值很大时，需要计算很长时间，是不切实际的。下面的结论可以得到一种更好的算法。

如果N是偶数，那么X^N =（X*X）^[N/2]；

如果N是奇数，那么X^N = X*X^(N-1) = X *（X*X）^[N/2]；

其中[N]是指小于或等于N的最大整数。

C++实现功能函数：

?

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

/* 函数功能：利用模运算规则，采用递归方式，计算X^N(% P) 函数名：PowerMod 输入值：unsigned int x，底数x unsigned int n，指数n unsigned int p，模p 返回值：unsigned int，X^N(% P)的结果 */ unsigned PowerMod(unsigned x , unsigned n , unsigned p) {     if (!n)         return 0;     unsigned temp = PowerMod((x * x) % p , n >> 1 , p); //递归计算（X*X）^[N/2]     if (n & 1) //判断n的奇偶性         temp = (temp * x) % p;     return temp; }