压缩感知（一）
去年下半年做一个鬼成像的项目，我负责“压缩感知”这一块，研究生的师妹就是做压缩感知的，一直想了解一下，可是一直没有机会，借着这个项目把压缩感知看了一下，整理一些文档。
从公开发表论文的情况看，国内外学者在信号稀疏表示、测量矩阵设计和信号重构算法方面都取得了一些重要成果，这为后续的CS(压缩感知)研究和实际系统的设计实现提供了基础和保障。但总体上说，对于CS理论和应用的研究仍处于起步阶段，而且一部分研究压缩感知的人群在撤离（转向人工智能），2012年之后，资源投入明显变少。压缩感知离实际的应用还有很长的路要走，还有许多问题需要进一步解决和完善。归纳起来，压缩感知其实就三件事：
(1) 信号稀疏表示：在CS理论中，信号的稀疏度不仅直接影响着压缩感知的效率，还影响着信号的恢复精度。这就要求我们在应用CS理论时，需要找到一个变换域使得信号在该域下具有最稀疏的表示形式。只有满足了CS的前提条件，即信号的稀疏性，才能够保证从少量的测量数据中精确恢复出原始信号。为了寻找到信号的最佳稀疏域，各国的学者们研究和提出了不同的变换空间来表示信号，例如正交变换空间（小波变换）、多尺度分析和过完备冗余字典等。但不管是哪一种变换空间都有其局限性，只有信号特征与函数特征一致时，才能精确表示信号。例如分段光滑信号在小波变换空间下具有稀疏的表示，而具有不连续边缘的图像信号在Curvelet变换空间下才具有足够的稀疏度。而实际信号多具有多种复杂结构，过完备冗余字典能够更灵活地表示信号，但其冗余性使得求解信号最稀疏表示的过程是一个很难的问题。因此，如何构造一个适合某一类信号的过完备字典，并找到一种有效且快速的稀疏表示方法仍是冗余字典下的CS理论的难点所在。此外，针对实际系统中输入信号变化的问题，存在一个亟需解决的重点问题，那就是如何构造冗余字典自适应地发掘信号的特征并稀疏地表示信号。自适应冗余字典的研究才刚刚起步，在自适应冗余字典的设计中，一个很关键的问题是如何设计出高效且计算量小的学习算法从冗余字典自适应地选择合适的原子来稀疏表示信号。此外，研究如何将低秩表示和流行结构引入到信号的稀疏表示中也是一个研究方向。
(2)测量矩阵设计：测量矩阵设计是CS理论的关键。一个“好”的测量矩阵，不但可以保证将信号投影到一个低维的空间时不丢失有用信息，并且必要时能够通过设计重构算法从低维数据中精确恢复原始信号。目前已证明的能够保证精确恢复信号的测量矩阵只有随机矩阵。但这类测量矩阵具有不确定性，在实际应用时，硬件上很难实现。因此研究更容易硬件实现的确定性测量矩阵成为未来的一个研究方向，目前已有一些确定性测量矩阵(例如Toeplitz矩阵)，但确定性测量矩阵的重构性能不如随机测量矩阵。因此，如何有效设计确定性测量矩阵，提高其重构性能，从而缩短与随机观测量矩阵的差距，是研究者们面临的一大问题。现有的CS理论都是建立在非自适应线性测量的基础之上，虽然采样策略简单，但不具备灵活性，因此有必要研究一套自适应CS理论，根据不同信号的类型采用不同的采样策略，以获取最优的性能。目前研究者们已经开始展开自适应CS理论的研究，但仍存在大量问题需要解决和完善。此外，对测量矩阵的研究，仍需设计出一种简单直观的指导理论来辅助测量矩阵的设计，同时要求能够对测量矩阵的性能做出定量的分析。对于给定的稀疏基，如何优化测量矩阵以获取更好的性能？对于给定的CS重构算法，是否存在一个与之相对应的最优的测量矩阵？像该类问题仍有待进一步解决和完善。
(3)信号恢复：信号重构算法设计的好坏直接影响能否精确恢复原信号。CS理论已证明了在测量矩阵满足一定条件的约束下，L1-范数最小化问题和L0-范数最小化问题的解具有等价性，成功地将CS信号恢复问题从非凸优化转化为凸优化求解问题。但传统的L1-范数凸优化算法仍存在着复杂度较高的问题，例如基追踪（BP）算法对于信号维度为N的信号，它的计算复杂度量级为O(N3)，在对大尺度的信号进行处理时的计算量极大，甚至令人无法忍受。因此，如何设计快速、有效且适用于高维数据的 -范数凸优化重构算法是有待进一步研究的一个方向。目前已有一些学者提出使用Lp-范数( 0<p<1)约束来提高CS重构性能，但Lp-范数优化是非凸函数优化问题，有很多数学问题有待解决。除了自身的稀疏性外，自然信号还有很多具有价值的先验信息，如果能在CS重构算法设计中有效利用这些额外的先验信息，将有望能进一步提高压缩感知的性能。目前，通过在重构模型中整合信号的先验信息来提高信号的恢复性能是CS研究的一个热点。虽然基于先验信息整合的压缩感知研究已经取得一些研究成果，例如Baron等人将相关信号具有联合稀疏性的先验信息整合到CS理论，提出了分布式CS理论(Distributed Compressive Sensing，DCS)，实现了信号的快速重构，但仍存在很多问题等待进一步解决。此外，对含噪信号或采样过程中引入噪声的信号重构问题的研究还远远不够，目前研究结果尚不理想。
基于以上的分析，我们看到，经过几年的发展，CS理论本身得到了快速的发展，其应用领域也在不断扩展。但是CS理论离实际的应用要求，仍有很大的差距。测量矩阵设计和CS重建算法作为CS理论的核心，直接关系着CS理论在实际应用中的成败。因此如何设计出快速、鲁棒适用于高维数据的重构算法和易于硬件实现的高性能测量矩阵是CS理论在实际应用之前迫切需要解决的问题。
