线性模型（3）：Logistic Regression

此笔记源于台湾大学林轩田老师《机器学习基石》《机器学习技法》

（一）Logistic Regression 原理

对于分类问题，假设我们想得到的结果不是（x属于某一类）这种形式，而是（x属于某一类的概率是多少）这种形式。

因为s的范围是(-∞，+∞), 而概率的范围是[0,1],所以我们需要一个映射函数：

我们如何应用概率知识来解决这一问题呢？一种想法是使用极大似然法。

现在出现了类似于linear Regression中的形式，我们可以求梯度。

根据上式，并不能得出向量w的close-form solution。

 

（二）Logistic Regression Algorithm

现在回想一下PLA算法，我们要从中提取出一种非常普遍的模式：iterative Optimization。

回想一下，我们在PLA算法中何如一步步改善向量w？首先选择一个mistake 数据，然后用mistake数据矫正原来的w。

再抽象一下这个模型：

我们只需要关系两个参数即可：η代表了w_t的变化大小，v代表了w_t的变化方向（|v|=1）。

 

现在我们采用iterative Optimization方法来求解logistic regression中的w。

（1）考虑v

假设，当eta非常小的情况下，根据Taylor展开公式，可以得到：

现在如果想使得上述公式最小，只需要使v为与方向完全相反的单位向量即可。

 

（2）考虑η

η太大太小都不好，最好是与的长度成比例。

 

（3）小结

 

(三） Stochastic Gradient Descent（SGD）

上述方法有什么问题吗？

每一个迭代，我们都必须使用training dataset中所有的N个数据。1）效率很低。2）只适合batch protocol类型的问题。

我们怎么做呢？随机选择一个数据来计算，而不是使用所有的数据。