机器学习真的可以起作用吗？（1）

[此笔记源于台湾大学林轩田老师《机器学习基石》《机器学习技法》]

 

机器学习真的可以起作用吗？答案是肯定的。

那为什么这个问题还要拿出来讲一讲呢？

考虑一个问题：

现在知道了5个数据，预测其余3个xn的输出，有如下可能：

我们根本没法预测！

这个问题formally的表示是：对于一个整体，我们随机抽取一个数据集D，那么inside D内，g≈f，但是outsideD（即整体），g与f的关系是什么？

我们用符号Ein(h)来表示h在inside D上犯的错误，用Eout(h)来表示h在outside D上所犯的错误。

 

                                                           Step 1：Validation

 

根据概率论，如果D足够大的话，那么h在inside D上的表现跟outside D上的表现很相似。这一关系用数学语言描述则为

如果N足够大，那么Ein(h) ≈ Eout(h)。

 

也就是说，对于我们要预测的整体，从中抽取一个数据集D，如果我们有一个hypothesis h，且在D上Ein(h)很小，那么Eout(h)也很小，我们可以说：在整体上，h犯的错误会非常小。

 

这一论述的适用范围是验证（Validation）：当我们有一个h时，我们可以用这一方法来验证h是不是表现很好。但是，并没有涉及到learning Algorithm A。我们更加关心如何通过learning Algorithm A到得到这样的h。

一个合理的假设是：原则1：learning Algorithm A可以在hypothesis set H上寻找在training dataset上Ein(h)非常小的h，来用作f的估计。

 

                                                               step2：training

 

上述用来设计learning Algorithm A的原则是不是合理的呢？答案是不合理。

这里的orange颜色表示h预测错误，green表示预测正确。假设罐子里的代表整体。那么从图中看，Eout(h2)最小，但是Ein(hM)=0，我们应该选择hM么？它在整体上表现是如此的不好。

这里反应的一个问题是：是training Dataset是否具有代表性的问题。

对于Step1中的validation过程，我们考虑的问题是：traning dataset D是否能够代表整体。（譬如高斯分布中选择一个点，有99%的可能在置信区间之内，我们就说，选取的点有很大可能代表整体。）如果D能代表整体，而h在D上表现良好，那么h在整体上表现良好。

对于A算法选择h过程则不然。我们要考虑的问题是：h在D上的表现能不能代表h在整体上的表现。假设hypothesis set H无限多，那么总有瞎猫碰上死耗子的可能性：有一个h在D上表现完美，而在整体上表现很差。也即问题是：h1,…,h5在D上的表现可以代表在整体上的表现，而h6在D上的表现不能代表其在整体上的表现。但是A选择了h6，那么结果就与我们的预期大相径庭了。

learning Algorithm A可以在hypothesis set H上寻找在training dataset上Ein(h)非常小的h，来用作f的估计。这一原则的使用条件是：对于hypothesis set中的所有的h，h在D上的表现都能代表h在整体上的表现。

 

用“BAD D”来表示对于h，Ein(h) 与 Eout(h)相差很多的D；“GOOD D”来表示对于h，Ein(h) ≈ Eout(h)的D。下面是具体的论证过程。

上面这么多D是什么意思呢？就是如果我们从整体中抽取一个D，那么有无穷多种可能，可能能代表（GOOD D），可能不能代表（BAD D），这是对D是否能够代表整体的具体化描述。根据Step1中的描述，我们知道这一概率就是Hoffding 不等式。

上面的这一个表示对h在D上的表现能不能代表h在整体上的表现的具体化描述。譬如D1，对于h2是GOOD D，对于h1却是BAD D。我们希望找到一个对于所有h都是GOOD的D，这一可能性大吗？如果很大。我们我们就可以使用我们上面说的原则1来设计算法A了。

这一概率代表的是对所有的h，D都是GOOD的概率。看的出来，当M小，N大的时候，我们就可以放心大胆地使用原则1来设计算法啦。

 

                                                                           小结

根据我们上面的两个步骤，我们可以对机器学习算法做一个小的总结：

只要做好这两步就好。

我们可以看出，M在这两个问题中起了很重要的作用：

当M比较小的时候，我们根据我们上面的推导，Ein(h) ≈ Eout(h)很容易做到。但是因为M太少，我们可供选择的h就太少，可能很难得到使得Ein(h) ≈ 0 的h。反之，则是M比较大的时候的问题。我们可以看出：在机器学习算法中。M是一个非常重要的因素。