实用的空间几何方法

实用的空间几何方法

​   设点表示为 P (x,y,z)，直线表示为过点P (x,y,z) 和方向direction (x,y,z)，平面表示为过点P (x,y,z) 和法线方向norm (x,y,z)。

​   代数符号 * 表示向量点积， $\cdot$ 表示向量叉积，||表示向量模长，normalize()表示求单位向量。

1 向量法求直线和平面交点

​   过点P和方向为L的直线，与过点Q和法线方向为N的平面的交点M。

​   过P点的直线在平面法向上的投影都相等，因此可以得到：

$$PM\ast norm=PQ\ast norm$$

​   已知P、Q两点坐标，向量PQ可以求到。另外知道直线PM方向向量L，则M点可表示为：

$$M=P+t\ast L$$

​   代入上式可得：

$$(P+t\ast L-P)\ast norm=(Q-P)\ast norm$$

$$t=\frac{(Q-P)\ast norm}{L\ast norm}$$

2 向量法求两平面交线

​   过点P和法线方向为M的平面，与过点Q和法线方向为N的平面的交线，设交线过点L，方向向量为A。

​   首先可以通过平面法向量M、N求得直线方向向量：

$$A=M\cdot N$$

​   然后通过A和法向量M可以求到直线PL的方向向量：

$$PL=M\cdot A$$

​   于是问题转变为求直线PL和过点Q和法线方向为N的平面的交点。如第一章所述，可以求得：

$$L=P+t\ast PL$$

$$t=\frac{(Q-P)\ast N}{PL\ast N}$$

3 向量法求两直线交点

​   过点P和方向为A的直线，与过点Q和方向为B的直线的交点设为M。

​   已知：

$$M=P+t1\ast A$$

$$M=Q+t2\ast B$$

$$MQ\cdot B=0$$

​   代入化简可得：

$$(M-Q)\cdot B=0$$

$$(P+t1\ast A-Q)\cdot B=0$$

$$(P-Q)\cdot B-t1\ast A\cdot B=0$$

$$t1=\frac{|(P-Q)\cdot B|}{|A\cdot B|}$$

4 向量法求三角形外接圆

​   已知点A、B、C围成的三角形，求三角形的外接圆圆心O。

​   因为：

$$\mathrm{向}\mathrm{量}AB=A-B$$

$$\mathrm{向}\mathrm{量}BC=B-C$$

$$norm=AB\cdot BC$$

​   得到：

$$O=A+\frac{AB\cdot BC\cdot AB\ast |BC{|}^2+BC\cdot AB\cdot BC\ast |BC{|}^2}{2\ast |norm{|}^2}$$

5 根据TrackBall求旋转矩阵

​   如图所示，屏幕上有一个半球，因为鼠标为屏幕坐标系，想要通过鼠标实现对三维世界物体的旋转，可以参考trackball的方式获取到。

auto calScreenZ=[](float r, float x,float y){
	float d,t,z;
	d=sqrt(x*x+y*y);
	//Inside sphere
	if(d<r*0.707)
	{
		z=sqrt(r*r-d*d);
	}
	//On hyperbola
	else
	{
		t=r/1.41421;
		z=t*t/d;
	}
	return z;
};
 
///获取归一化屏幕坐标
osg::Vec3 p1={2.0*(x1-xmin)/(xmax-xmin)-1.0,2.0*(y1-ymin)/(ymax-ymin)-1.0};
osg::Vec3 p2={2.0*(x2-xmin)/(xmax-xmin)-1.0,2.0*(y2-ymin)/(ymax-ymin)-1.0};
p1.z()=calScreenZ(_trackballSize,p1.x(),p1.y());
p2.z()=calScreenZ(_trackballSize,p2.x(),p2.y());
///获取相机旋转矩阵
auto viewMat=getCameraViewMat().getRotate();
p1=p1*osg::Matrix::inverse(viewMat);
p2=p2*osg::Matrix::inverse(viewMat);
///计算旋转矩阵
osg::Quat localQuat;
localQuat.makeRotate(p2,p1);