基于物理的渲染（2）：渲染方程

基于物理的渲染（2）：渲染方程

$$L_o(p,{\omega }_o)={\int }_{\Omega }{f}_r(p,{\omega }_i,{\omega }_o)L_i(p,{\omega }_i)n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i$$

  其中$L_o$为P点的出射辐射率，$f_r$是P点入射方向到出射方向光的反射比，也叫双向反射分布函数（BRDF），$L_i$是P点入射光辐射率。渲染方程说明了P点的出射辐射率，可以通过半球 $\Omega$内所有入射方向光线辐射率乘以$f_r$，和余弦值 $n\cdot {\omega }_i$ 。

5.1 双向反射分布函数（BRDF）

  BRDF表示材质性质，用于描述表面反射和次表面反射，分别用作高光反射项和漫反射项。举例来说，如果一个平面拥有完全光滑的表面（比如镜面），那么对于所有的入射光线ωi（除了一束以外）而言BRDF函数都会返回0.0 ，只有一束与出射光线ωo拥有相同（被反射）角度的光线会得到1.0这个返回值。

  Cook-Torrance BRDF模型既有漫反射项又有高光反射项，在实时渲染中最为常用：

$$f_r=k_d{f}_{lambert}+k_s{f}_{cook-torrance}$$

  其中，$k_d$ 为入射光线中被折射部分能量的比例，$k_s$ 为被反射的比例。Lambertian漫反射模型如下

​ $$f_{lambert}=\frac{c}{\pi }$$

  c为表面颜色。Cook-Torrance 高光反射模型如下

$$f_{cook-torrance}=\frac{DFG}{4(W_o\ast n)(w_i\ast n)}$$

  其中包含三个函数，D表示法线分布函数（Normal Distribution Function），F表示菲涅尔方程（Fresnel Equation），和G表示几何函数（Geometry Function）。

5.2 法线分布函数

  法线分布函数用于估算微平面中法线和半程向量一致的平面数量，Trowbridge-Reitz GGX公式：

$$ND{F}_{GGXTR}(n,h,a)=\frac{a^2}{\pi ((nh{)}^2(a^2-1)+1{)}^2}$$

  其中h表示半程向量，a表示表面粗糙度。如下图所示，粗糙度越大，微平面半程向量越分散，表面更加灰暗。

                    

5.3 菲涅尔方程

  菲涅尔方程描述的是被反射的光线对比被折射的光线所占比例。当光线碰撞到一个表面时，菲涅尔方程会根据观察角度计算得到被反射的光线的比例。菲涅尔方程是个相当复杂的方程式，一般用Fresnel-Schlick近似法求得近似解：

​ $$F_{Schlick}(h,v，F_0)=F_0+(1-F_0)(1-(hv){)}^5$$

  其中 $F_0$ 表示平面的基础反射率，它通过折射指数计算得到。当视线和表面法线夹角越接近90度，菲涅尔现象越明显，反光越强。Fresnel-Schlick近似法只对电介质有意义，可以通过金属度纹理插值近似得到：

vec3 F0 = vec3(0.04);
F0      = mix(F0, surfaceColor.rgb, metalness);

  然后计算得到实际反射率：

vec3 fresnelSchlick(float cosTheta, vec3 F0)
{
    return F0 + (1.0 - F0) * pow(1.0 - cosTheta, 5.0);
}

5.4 几何函数

  几何函数表示了微平面相互遮挡的比例，如下图所示分为两种情况：观察方向上的集合遮蔽和光线方向上的几何阴影。
                    
  我们可以用Smith函数将两部分放到一起：

​ $$G(n,v,l,k)=G_{sub}(n,v,k)\cdot G_{sub}(n,l,k)$$

  材料的粗糙度越高，微平面相互遮蔽的概率越高，Schlick-GGX几何函数

​ $$G_{SchlickGGX}(n,v,k)=\frac{n\cdot v}{(n\cdot v)(1-k)+k}$$

  其中k由粗糙度计算而来，直接光照和环境光照参数分别为：

​ $$k_{direct}=\frac{(\alpha +1{)}^2}{28}$$

​ $$k_{IBL}=\frac{{\alpha }^2}{2}$$

  glsl代码如下：

float GeometrySchlickGGX(float NdotV, float k)
{
    float nom   = NdotV;
    float denom = NdotV * (1.0 - k) + k;
	
    return nom / denom;
}
  
float GeometrySmith(vec3 N, vec3 V, vec3 L, float k)
{
    float NdotV = max(dot(N, V), 0.0);
    float NdotL = max(dot(N, L), 0.0);
    float ggx1 = GeometrySchlickGGX(NdotV, k); // 视线方向的几何遮挡
    float ggx2 = GeometrySchlickGGX(NdotL, k); // 光线方向的几何阴影
	
    return ggx1 * ggx2;
}

​  这样得到最终的渲染方程：

$$L_o(p,{\omega }_o)={\int }_{\Omega }(k_d\frac{c}{\pi }+k_s\frac{DFG}{4(w_{o}n)(w_{i}n)})L_i(p,{\omega }_i)n\cdot {\omega }_{i}d{\omega }_i$$