浅谈欧拉定理的证明

自己在校内互坑赛出了一道欧拉定理的板子题，但是因为数据水变成了模拟数学题，真是一个悲伤的故事。。。

说一下欧拉定理的证明吧，之前一直认为费马小定理的证明很复杂，但是懂了欧拉定理之后就迎刃而解了。

首先，我们需要知道欧拉定理是什么：

​ 数论上的欧拉定理，指的是

\[a^x \equiv 1 (modn) \]

这个式子实在a和n互质的前提下成立的。

为什么成立呢？下面来证一下。

首先，我们知道在1到n的数中，与n互质的一共有\(φ(n)\)个，所以我们把这\(φ(n)\)个数拿出来，放到设出的集合X中，即为\(x_1,x_2……x_{φ(n)}\)。

那么接下来，我们可以再设出一个集合为M，设M中的数为：

\[m1=a*x1 \\m2=a*x2 \\…… \\mφ(n)=a*xφ(n) \]

下面我们证明两个推理：

一、M中任意两个数都不模n同余。

反证法。

证明：假设M中存在两个数设为\(m_a,m_b\)模n同余。

​ 即\(m_a \equiv m_b\)

​ 移项得到：\(m_a-m_b=n*k\)

​ 再将m用x来表示得到:\(a*x_a-a*x_b=n*k\)

​ 提取公因式得到\(a*(x_a-x_b)=n*k\)

​ 我们现在已知a与n互质，那么式子就可以转化为：\(x_a-x_b\equiv 0（modn)\)，因为a中没有与n的公因子（1除外）所以a对模n同余0并没有什么贡献。

​ 又因为\(x_a,x_b\)都是小于n的并且不会相同，所以\(x_a-x_b\)一定是小于n的，那么上述的式子自然全都不成立。

​ 假设不成立。

证得：M中任意两个数都不模n同余。

二、M中的数除以n的余数全部与n互质。

证明：我们已知\(m_i=a*x_i\).

​ 又因为a与n互质，\(x_i\)与n互质，所以可得\(m_i\)与n互质。

​ 带入到欧几里得算法中推一步就好了。

​ 即：

\[gcd(a*x_i,n)=gcd(m_i,n)=gcd(n,m_imodn)=1 \]

证毕。

根据我们证得的两个性质，就可以开始推式子了。

首先，根据第二个性质可以知道，M中的数分别对应X中的每个数模n同余。

所以可以得到：

\[m_1*m_2*……*m_{φ(n)}\equiv x_1*x_2*……*x_{φ(n)}(mod n) \]

现在我们把\(m_i\)替换成x的形式，就可以得到：

\[a*x_1*a*x_2*……*a*x_{φ(n)}\equiv x_1*x_2*……*x_{φ(n)}(modn) \]

很显然，我们应该移项了，但是在移项之前，我们认为这么多的a很烦，那么就先乘起来：

\[a^{φ(n)}*(x_1*x_2……*x_{φ(n)})\equiv x_1*x_2……*x_{φ(n)}(mod n) \]

很开心，我们终于凑出了\(a^{φ(n)}\),那么就开始移项吧：

\[(a^{φ(n)}-1)*(x_1*x_2……*x_{φ(n)})\equiv 0(mod n) \]

然后，就出来啦：

\[a^{φ(n)}\equiv 1(mod n) \]

证毕。

开心。