最小权顶点覆盖问题

问题描述：

　 给定一个赋权无向图G=（V，E），每个顶点v∈V都有一个权值w（v）。如果U包含于V，且对于（u，v）∈E 有u∈U 且v∈V-U，则有v∈K.如：U = {1}， 若有边（1，2）， 则有2属于K. 若有集合U包含于V使得U + K = V，就称U 为图G 的一个顶点覆盖。G 的最小权顶点覆盖是指G 中所含顶点权之和最小的顶点覆盖。

算法设计：

　　a. 给定的图G 有n 个顶点和m条边，用w[i]存储顶点i的权值，用e[i][j]标记两顶

　　点为i和j的边是否存在，用c[i]标记顶点i是否在顶点覆盖集中；

　　b. 用函数cover（）判断图G 是否被顶点覆盖（用t标记）：

　　① 初始t=0；

　　② 采用while循环对每个顶点i（1≤i≤n）进行讨论：

　　　　 1> 若顶点i不在顶点覆盖集中（即c[i]==0），则查找与之有边连接的顶点j（即e[i][j]==1），判断所有顶点j：

　　若存在顶点j在顶点覆盖集中（即c[j]==0），则t=1；

　　若所有顶点j都不在顶点覆盖集中（即t==0），则图G 未被顶点

　　覆盖（return 0）；

　　2> 当i>n时循环结束；

　　③ return 1；

　　c. 用递归函数cut（i， s） 来实现回溯法搜索子集树（形式参数i表示递归深度，n用

　　来控制递归深度，形式参数s表示当前顶点权之和）：　　

　　① 若s>=bestw，则不是最优解，剪去相应子树，返回到i-1层继续执行；

　　② 若i >n，则算法搜索到一个叶结点，调用函数cover（）对图G进行判断：

　　若cover（）为真，则用bestw对最优解进行记录，返回到i-1层继续执行；

　　③ 对顶点i分在与不在顶点覆盖集中两种情况进行讨论：

　　1> 若顶点i不在顶点覆盖集中（即c[i]==0），则调用函数cut（i+1，s）；

　　2> 若顶点i在顶点覆盖集中（即c[i]==1），则调用函数cut（i+1，s+w[i]）；

　　④ 当i=1时，若已测试完所有顶点覆盖方案，外层调用就全部结束；

　　d. 主函数调用一次cut（1，0）即可完成整个回溯搜索过程，最终得到的bestw即为所

　　求最小顶点权之和。

源程序：

　　#include<stdio.h>

　　#define MIN 100000

　　int m，n，u，v，bestw；

　　int e[100][100]，w[100]，c[100]；

　　int cover（）

　　{

　　int i，j，t；

　　i=1；

　　while （i<=n）

　　{

　　t=0；

　　if（c[i]==0）

　　{

　　j=1；

　　while（j<i）

　　{

　　if（e[j][i]==1&&c[j]==1）

　　t=1；

　　j++；

　　}

　　j++；

　　while（j<=n）

　　{

　　if（e[i][j]==1&&c[j]==1）

　　t=1；

　　j++；

　　}

　　if（t==0）

　　return 0；

　　}

　　i++；

　　}

　　return 1；

　　}

　　void cut（int i，int s）

　　{

　　if（s>=bestw）

　　return；

　　if（i>n）

　　{

　　if（cover（））

　　bestw=s；

　　return；

　　}

　　c[i]=0；

　　cut（i+1，s）；

　　c[i]=1；

　　cut（i+1，s+w[i]）；

　　}

　　main（）

　　{

　　int i，j，k；

　　scanf（"%d%d"，&n，&m）；

　　for（i=1；i<=n；i++）

　　{

　　scanf（"%d"，&w[i]）；

　　c[i]=0；

　　

　　}

　　for（i=1；i<=n；i++）

　　for（j=1；j<=n；j++）

　　e[i][j]=0；

　　for（k=1；k<=m；k++）

　　{

　　scanf（"%d%d"，&u，&v）；

　　e[u][v]=1；

　　}

　　bestw=MIN；

　　 cut（1，0）；

　　printf（"%d"，bestw）；

　　return 0；

　　}