全排列问题及其引申问题

全排列问题是经典的算法题目。实现可以使用库函数（如STL next_permutation）, 也可以递归回溯法。

同时其follow up又包括：

当排列中有重复元素时如何处理；next permutaion的实现原理；查找第K个排列等。

本文就这些问题进行讨论。

注：上述问题对应LeetCode46， 47， 31， 60。 

1. 用next_permutaion实现

首先不考虑算法题目本身，单纯从应用的角度来讲，用库函数自然是最便捷的方法。

STL next_permutaion的接口如下：

template <class BidirectionalIterator>
  bool next_permutation (BidirectionalIterator first,
                         BidirectionalIterator last);

template <class BidirectionalIterator, class Compare>
  bool next_permutation (BidirectionalIterator first,
                         BidirectionalIterator last, Compare comp);

当需要自己制定排序规则时，使用第三个参数。

一般使用do-while结构解决全排列问题。 看如下例子即可理解使用：

class Solution {
public:
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        vector<vector<int>> result;
        int len = nums.size();
        sort(nums.begin(), nums.end());
        do {
            result.push_back(nums);
        } while (next_permutation(nums.begin(),nums.end()));
    
        return result;
    }
};

注： 1. 如果需要用全排列解决其他问题，do 中即为对每个排列的操作。

　　 2. 使用next_permutaion可以天然解决重复元素问题（原因见后述next_permutation实现原理）。

 

2. 递归解决全排列（回溯法）

回溯法的思路也不难理解。

考察其如何递归，以1234为例。首先需要考虑第一位，可以以此与后续元素交换得到2-134， 3-214， 4-231.

然后对后三位递归地调用（与后续元素交换）即可。当递归到无法交换（就剩一位），则输出。

代码如下：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    void helper(vector<int>& nums, int start, int end) {
        if (start == end) {
            result.push_back(nums);
        }
        for (int i = start; i <= end; ++i) {
            swap(nums[start], nums[i]);
            helper(nums, start + 1, end);
            swap(nums[start], nums[i]);
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> permute(vector<int>& nums) {
        helper(nums, 0, nums.size() - 1);
        return result;
    }
};

 

3. 有重复元素怎么办？

考察1223， 则一步递归可以处理为1-223， 2-123， 3-221.

也就是说，第 i 个字符与 第 j 个字符交换后，要求[i, j)中没有与 第 j 个字符相等的数。

所以加上一个判断函数isDuplicate判断即可。

代码：

class Solution {
private:
    vector<vector<int>> result;
    bool isDuplicate(vector<int>& nums, int start, int end) {
        for (int i = start; i < end; ++i) {
            if (nums[i] == nums[end]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    void helper(vector<int>& nums, int start, int end) {
        if (start == end) {
            result.push_back(nums);
        }
        for (int i = start; i <= end; ++i) {
            if (!isDuplicate(nums, start, i)) {
                continue;
            }
            swap(nums[start], nums[i]);
            helper(nums, start + 1, end);
            swap(nums[start], nums[i]);               
        }
    }
public:
    vector<vector<int>> permuteUnique(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        helper(nums, 0, nums.size() - 1);
        return result;
    }
};

 

4. next_permutation到底怎么实现的？

上述递归地思路理解以后，要考察的就是next_permutation这个算法的原理到底是什么。

这个还是一个比较经典但是不太好想的算法。

算法可以总结为如下几个步骤：

1）找字符串中最后一个升序位置（从后往前找第一个满足s[i] < s[i + 1]）;

2)  在s[i+1, ... N-1]中找比S[i]大的最小值S[j]；

3)  交换s[i], s[j];

4)  翻转s[i + 1, ... N - 1]。

 

这一串跟咒语一样的算法道理何在呢？可以考察如下的例子分析其原理：

1)  首先要注意的是，我们找的是下一个排列，所以应该想要改变之后的增值尽可能小。如 124653 -> 125346;

     也就是说，高位应该尽量一致，能动低位的时候就不要动高位。如上例子，当4改成5就能增大的时候，不要动1,2（653不能改变顺序使其增大）。

2)  那4是如何找到的，也就是说最后一个能动的地位是谁呢？ 这就应该从后往前看，显然53没得动，653也没得动，但4653可以动了。（这就是上述算法步骤1）

     原因在于，如果从后往前看的时候，得到的后方元素都是递减的，也就是在这一局部（比如653）他已经没有next_permutation了，所以要再向前找。

     只到发现一个位置i， nums[i] < nums[i+1]这意味着 nums[i....size-1] （如4653）这一局部是还有next_permutation。所以位置 i 就是需要被交换。

3)  但他应该交换谁呢？还是考虑上面说的想要改变之后的增值尽可能小，所以应该交换大于nums[i]的最小值，

     也就是后面位置中从后往前数（从小往大数）第一个大于nums[i]的元素。（对应算法步骤2，3）

4)  当交换完之后，即例子中变为125643，可以发现。nums[i+1,...size-1]（即643）一定是完全降序的。

     所以为了能组成元素的最小值（这样增值才最小），应该reverse这一部分，变为346，（对于算法步骤4）。

     得到最终结果125346。

所以上述算法四个步骤也可以简写为：后找，小大，交换，翻转（这个简写原作者为邹博）

将上述算法步骤写为代码就很简单了，如下所示：

class Solution {
public:
    void nextPermutation(vector<int>& nums) {
        if (nums.size() < 2) {
            return;
        }
        int i = nums.size() - 2;
        for (i; i >= 0; i--) {
            if (nums[i] < nums[i+1]) {
                break;
            }
        }
        if (i == -1) {
            sort(nums.begin(), nums.end());
            return;
        }
        int j = nums.size() - 1;
        for (j; j > i; j--) {
            if (nums[j] > nums[i]) {
                break;
            }
        }
        swap(nums[i], nums[j]);
        reverse(nums.begin() + i + 1, nums.end());
        
    }
};

 

5. 给定一个排列，他的字典序第K个是多少呢？

当然这个问题最直观的思路还是用next_permutation一个一个找，边找边记录个数。但是显然这里的效率太低。

考虑直接构造出第K个。

k / (n-1)! 表示了当前这一位应该取剩下的备选元素中的第几个元素；

然后k 减去因为布置好这一位占据的序列数，并且n--, 以此递推下去，可以得到结果。

代码：

class Solution {
private:
    int fact(int n) {
        int result = 1;
        for (int i = 1; i <= n; ++i) {
            result *= i;
        }
        return result;
    }
public:
    string getPermutation(int n, int k) {
        string result;
        vector<int> init(n);
        for (int i = 0; i < n; ++i) {
            init[i] = i + 1;
        }
        int i = k - 1, count = n;
                   
        while (i >= 0 && count > 0) {
            int temp = i / fact(count - 1);
            result += ('0' + init[temp]);
            i -= ( temp * fact(count - 1));
            init.erase(init.begin() + temp);
            count--;
        }
        return result;
    }
};