扩展欧几里得算法

同余方程

$ax\equiv b(\mathrm{mod}m)$

二元一次方程

$ax+by=c$，其中$a,b,c$为已知的正整数

这两者可以相互转化，显然对于这个二元一次方程，有:
$ax\mathrm{mod}b=c\mathrm{mod}b$,可以转化为$ax\equiv c(modb)$

裴蜀定理

当我们考虑一个二元一次方程解的情况，我们发现：

• 1.可能无解
• 2.有解即有无数个解

所以问题转化为判断是否有解，所以出现了裴蜀定理：

设$a,b$为正整数，则$ax+by=c$有正整数解，当且仅当$c$是$gcd(a,b)$的倍数，注意 $c$ 不需要是正整数。

辗转相除法

求 $gcd(a,b)$ 的方法：
$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{mod}b)$。

扩展欧几里得算法：

扩展欧几里得算法致力于进一步找到解

• 1. 裴蜀定理判无解；
• 2. 若有解，先求方程 $ax+by=gcd(a,b)$ 的解，则原方程的一个解为 $x=x\times \frac{c}{gcd(a,b)}$；
• 3. 递归求最大公约数，并利用，$x=y_1,y=x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1$。

如何求解：

1. $ax+by=c$。
2. $b{x}_1+(a-b\times \lfloor \frac{a}{b}\rfloor )y_1$。
3. $a{y}_1+b(x_1-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_1)$。

这样 $x,y$ 与 $x_1,y_1$ 就有关联了。