证明神奇的不等式（均值不等式中间两项）

证明内容：$\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i}{n}>=\sqrt[n]{\prod _{i=1}^n{a}_i}$
首先介绍一下证明方法：向前向后的数学归纳法

第一步找到一个 单调递增的发散 序列{$a_n$}（本文为$2^1,2^2......$）
第二步证明若$n=m$时正确，则$n=m-1$时正确

这个做法的正确性时显然的，每一个$n$都可以从它后面的$a_k$推过来
下面是证明：

当$n=2$时，显然成立（自己去平方）
若$n=2^k$成立，则：
$\frac{\sum _{i=1}^{2^k}}{2^k}=\sqrt[2^k]{\prod _{i=1}^{2^k}{a}_i}$
$\therefore n=2^{k+1}$时，$\frac{\sum _{i=1}^{2^{k+1}}{a}_i}{2^{k+1}}=\frac{\sum _{i=1}^{2^k}{a}_i}{2^{k+1}}+\frac{\sum _{i=2^k+1}^{2^{k+1}}{a}_i}{2^{k+1}}>=\frac{\sqrt[2^k]{\prod _{i=1}^{2^k}{a}_i}}{2}+\frac{\sqrt[2^k]{\prod _{i=2^k+1}^{2^{k+1}}{a}_i}}{2}$
$>=\sqrt[2]{\sqrt[2^k]{\prod _{i=1}^{2^k}{a}_i}\sqrt[2^k]{\prod _{i=2^k+1}^{2^{k+1}}{a}_i}}$
$=\sqrt[2^{k+1}]{\prod _{i=1}^{2^{k+1}}{a}_i}$
$\therefore n=2^{k+1}$时成立
若$n=m$时成立，则：$\frac{\sum _{i=1}^m{a}_i}{m}>=\sqrt[m]{\prod _{i=1}^m{a}_i}$
$\therefore n=m-1$时，$\frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i}{m-1}=\frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i+\frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i}{m-1}}{m}>=\sqrt[m]{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i+\frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i}{m-1}}=(\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i{)}^{\frac{1}{m}}\times (\frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i}{m-1}{)}^{\frac{1}{m}}$
$\therefore (\frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i}{m-1}{)}^1>=(\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i{)}^{\frac{1}{m}}\times (\frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i}{m-1}{)}^{\frac{1}{m}}$
$\therefore (\frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i}{m-1}{)}^{\frac{m-1}{m}}>=(\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i{)}^{\frac{1}{m}}$
$\therefore \frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i}{m-1}>=(\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i{)}^{\frac{1}{m-1}}$
即$\therefore \frac{\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i}{m-1}>=\sqrt[m-1]{(\sum _{i=1}^{m-1}{a}_i)}$,得证

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本文作者：星河倒注
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