逻辑，集合，映射与计数

1.逻辑

命题：能够判断正确或错误的叙述。

复合命题：若$p$,则$q$

设原命题为若$p$,则$q$，则：

• 1.逆命题：若$q$,则$p$
• 2.否命题：若$\mathrm{\neg }p$,则$\mathrm{\neg }q$
• 3.逆否命题：若$\mathrm{\neg }q$,则$\mathrm{\neg }p$

其中原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价。

条件：

若 $p\Rightarrow q$ ,则 $p$ 是 $q$ 的充分条件，$q$ 是 $p$ 的必要条件。

p是q的充分不必要条件	$p\Rightarrow q$且$q\nRightarrow p$
p是q的必要不充分条件	$p\nRightarrow q$且$q\Rightarrow p$
p是q的充要条件	$p\Rightarrow q$且$q\Rightarrow p$
p是q的既不充分也不必要条件	$p\nRightarrow q$且$q\nRightarrow p$

量词：

• 1.全称量词：任意，符号为$\mathrm{\forall }$
• 2.存在量词：存在，符号为$\mathrm{\exists }$

eg1.$\mathrm{\forall }x\in R,\mathrm{有}f(x)>k$

很典型的题目，可以转化为$max(f(x))>k$

eg2.$\mathrm{\exists }x\in R,\mathrm{有}f(x)>k$

存在一个$x$满足条件即可，转化为$min(f(x))>k$

2.集合，元素

• 1.集合元素的三个特征：无序性，互异性，确定性
• 2.元素与集合之间的关系是属于或不属于，用$\in$或$\notin$表示
• 3.常见的集合记法：

集合	自然数集	正整数集	整数集	有理数	实数集
符号	$N$	$N^{\ast }$或$N_{+}$	$Z$	$Q$	$R$

ps:在符号上加$\ast ,+$的上下标通常表示正的部分

集合与元素间的基本关系

若$a$属于集合$A$，记作$a\in A$,若$a$不属于集合$A$，记作$a\notin A$

集合与集合间的基本关系

子集：

集合$A$包含于集合$B$(集合$A$是集合$B$的子集)，记作$A\subseteq B$,也可以记作$B\supseteq A$
下面我们用数学语言解释$A\subseteq B$：
$\mathrm{\forall }x\in A$,均有$x\in B$。
从这条解释可以看出$A\subseteq B$可以得出$x\in A$是$x\in B$的充分条件，$x\in B$是$x\in A$的必要条件
$Venn$图:

真子集：

集合$A$是集合$B$的子集，且集合$B$中至少有一个元素不在集合$A$中
$Venn$图:

集合相等：

如果有$A\subseteq B$，$B\subseteq A$，称$A=B$
$Venn$图:

集合与集合间的基本运算

集合的并集：

图像（黄色部分）：

n个集合$A_1,A_2....A_n$的并集可以记作$\bigcup _{i=1}^n{A}_i$

集合的交集：

图像：

n个集合$A_1,A_2....A_n$的交集可以记作$\bigcap _{i=1}^n{A}_i$

集合的补集：

要谈补集，我们首先要钦定一个全集$U$,$U$里包含了所有讨论的元素。

图像：

集合相乘：

就是笛卡尔积,没什么好说的。

幂函数：

$2^A$={$A$的所有子集}

集合的运算律：

• 1.$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$

证明：

$\mathrm{\forall }x\in A\cup (B\cap C)$

<1>若$x\in A$,则$x\in (A\cup B),x\in (A\cup C)$

$\therefore x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$

<2>若$x\in (B\cap C)$,则$x\in B,x\in C$

$\therefore x\in (A\cup B),x\in (A\cup C)$

$\therefore x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$

综上，$A\cup (B\cap C)\subseteq (A\cup B)\cap (A\cup C)$

$\mathrm{\forall }x\in (A\cup B)\cap (A\cup C)$

$\therefore x\in A$

$\therefore x\in A\cup (B\cap C)$

$\therefore (A\cup B)\cap (A\cup C)\subseteq A\cup (B\cap C)$

$\therefore (A\cup B)\cap (A\cup C)=A\cup (B\cap C)$

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• 2.$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

证明：

$\mathrm{\forall }x\in A\cap (B\cup C)$

$\therefore x\in A,x\in (B\cup C)$

$\therefore x\in A,x\in B,x\in C$

$\therefore x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$

$\therefore A\cap (B\cup C)\subseteq (A\cap B)\cup (A\cap C)$

$\mathrm{\forall }x\in (A\cap B)\cup (A\cap C)$

<1>$x\in (A\cap B)$

$\therefore x\in A,x\in B$

$\therefore x\in (B\cup C)$

$\therefore x\in A\cap (B\cup C)$

<2>$x\in (A\cap C)$

$\therefore x\in A,x\in C$

$\therefore x\in (B\cup C)$

$\therefore x\in A\cap (B\cup C)$

综上，$(A\cap B)\cup (A\cap C)\subseteq A\cap (B\cup C)$

$\therefore (A\cap B)\cup (A\cap C)=A\cap (B\cup C)$

映射

有$A,B$两个非空集合，若果按照某种确定的对应关系$f$,使得对于集合$A$中任意的一个元素$x$,在集合$B$中都有唯一确定的元素$f(x)$与之对应，称为$f:A\to B$

在$f:A\to B$中，$x$的取值范围$A$为映射的定义域，$f(x)$为$x$在映射$f$下的象集合$f(x)=${$f(x)|x\in A$}

单射：

若对于$\mathrm{\forall }{x}_1\in A,x_2\in A$,均满足$f(x_1)\ne f(x_2)$,称映射$f$为单射。

满射：

若$f(A)=B$,则称映射$f$为满射。

一一对应：

若映射$f$，既是单射也是满射，称映射$f$为一一映射，存在$f^{-1}:B\to A$(反函数)，使得:

• 1.$\mathrm{\forall }x\in A$,均有$f^{-1}(f(x))=x$
• 2.$\mathrm{\forall }y\in B$,均有$f(f^{-1}(y))=y$

构造映射：

$eg1.$构造一个一一映射$f:$整数集$\to$偶数集

$\mathrm{\forall }x\in Z,f(x)=2\times x$

$eg2.$构造一个一一映射$f:$正整数集$\to$整数集

$f(1)=0,f(2)=1,f(3)=-1......$

$eg3.$构造一个一一映射$f:$正整数集$\to$有理数集

这个对应有点难度，先自己想一想。
先把$0$单独考虑，现在每一个有理数可以对应一个最简分数$\frac{p}{q} $,\mathrm{我}\mathrm{们}\mathrm{把}\mathrm{每}\mathrm{个}\mathrm{有}\mathrm{理}\mathrm{数}\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{二}\mathrm{元}\mathrm{组}$(p,q)$,放到直角坐标系中，形成下图（先只考虑大于$0$的有理数）：

我们从$(1,1)$开始，蛇行向上对应，如果不是最简分数就跳过：

怎么对应负有理数呢，一正一负就行了。

$eg4.$是否能构造一个一一映射$f:$正整数集$\to$实数集

先自己试着构造试试。
不难发现根本不可行，下面是证明：
反证法：
若{$a_1,a_2,......,a_n,......$}$=R$
取一个实数$x$使得:

其中$b_i\ne a_i$的第$i$位小数。显然$x\ne a_1,x\ne a_2,.....$但$x\in R$,与条件矛盾。

应用：

• 1.$C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
  首先有$A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}$
  试图构造一个从$A_n^k$到$C_n^k$的映射，发现有很多个排列对应一个组合。
  排列的长度是$k$,那么自然有$k!$个排列对应一个组合，所以组合数的公式是$\frac{A_n^k}{A_k^k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
• 2.$C_n^k=C_n^{n-k}$
  很好理解。当然你可以列出这两个的公式也可以构造一一对应（对应补集）
• 3.$C_n^0+C_n^1+....+C_n^n=2^n$
  你考虑这其实就是子集个数。

实际应用：

$eg1.1000$瓶药水中有一瓶有毒，每次可以取出若干瓶药水混合在一起检验是否有毒。问找到有毒的药水至少需要多少次操作。

这个问题的答案其实不难，10次，但是包含了一些思想。

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二分法：最简单的方案，有一个问题，每次操作依赖于前一次操作的结果，若果等待前一次结果的时间很长，这就不是理想的方案。

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二进制法：给每一瓶药水二进制编号，不会超过$10$位，第$i$次操作取二进制从前往后第$i$位为$1$的药水一起检验，$10$次的结果有毒记为$1$,无毒记为$0$，把这十个数字放在一起形成一个二进制数，对应会编号即可。正确性是显然的

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更深入一点思考为什么至少要进行$10$次操作，我们其实是在建立每一组操作结果与有毒药水编号之间的一一对应，假设进行$9$次操作，只有$512$个操作结果，无法一一对应$1000$个药水编号

计数

容斥原理

忘记介绍一种符号了，$\left|A\right|$ 代表$A$集合中的元素个数。
容斥原理的内容：$\left|\bigcup _{i=1}^n{A}_i\right|=\sum _{i=1}^n\left|A_i\right|-\sum _{1<=i<j<=n}|A_i\cap A_j|+......+(-1{)}^{n-1}|A_1\cap A_2\cap ......\cap A_n|$

证明：
$\mathrm{\forall }x\in \bigcup _{i=1}^n{A}_i$在等式左边计算一次
设$x\in A_{i1},x\in A_{i2},......,x\in A_{ik}$,令$S$为$x$在右式的计算次数，则：
$S=C_k^1-C_k^2+......+(-1{)}^k{C}_k^k$
根据二项式定理:$(1+y{)}^k=C_k^0+C_k^1\times y+......+C_k^k\times y^k$
令$y=-1$,得：$0=1-S,S=1$
$\therefore x$在等式右边被计算一次，等式成立。

错排

通项：

根据容斥，错排的个数是全排列减去一个位置对的加上两个位置对的......
即：$n!-C_n^1\times (n-1)!+C_n^2\times (n-2)!+......+(-1{)}^{n-1}{C}_n^n$
$=\sum _{i=0}^n(-1)!\times C_n^i\times (n-i)!$
$=\sum _{i=0}^n(-1)!\times \frac{n!}{i!(n-i)!}\times (n-i)!$
$=\sum _{i=0}^n(-1)!\times \frac{n!}{i!}$
$=n!\times \sum _{i=0}^n(-1)!\times \frac{1}{i!}$
由$e^x=1+\frac{x}{2!}+\frac{x^2}{3!}......$,此时令$x=-1$
$\therefore e^x=1-\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}......$，和错排的公式谜之相似，只不过是无限项，误差小于$\frac{1}{n+1}$
记录$n$个数的错排数为$D_n,D_n\approx \frac{n!}{e}$

递推：

$D_n=(n-1)(D_{n-2}+D_{n-1})$
我们假设$1$对应$2$(其他也是一样的，$\times n-1$就好了)，那么面临两种情况：

• 1.2对应1
  此时后面的数形成一个$n-2$的错排
• 2.2不对应1
  这时后面总有一个数$k$对应$1$,令$k$对应$2$，对结果没有影响，这时形成一个$n-1$的错排

数字和固定的五位数

原问题：

数字和为6的五位数共有多少个？

很经典的插板法，记这个五位数为$abcde$
由题：$a+b+c+d+e=6$,此时$b,c,d,e$可以为$0$，每一个加上$1$,新的数是$a(b+1)(c+1)(d+1)(e+1)$。
$a+(b+1)+(c+1)+(d+1)+(e+1)=10$，插板法就可以（不可能分出来一个10以上的数），答案是$C_9^4$
趁机推销自己的插板法博客:组合数学初步

change 1:

数字和为40的五位数共有多少个？
$\mathrm{把}\overline{abcde}\mathrm{对}\mathrm{应}\mathrm{成}\overline{(10-a)(10-b)(10-c)(10-d)(10-e)}$，然后老操作，还是$C_9^4$

差分：

定义$△h_n=h_{n+1}-h_n$
不难看出若$\mathrm{\forall }x\in n,{△}^2{h}_x=0$（先差分一次，再在差分数组上差分一次），{$h_n$}为等差数列。
同样的，若$\mathrm{\forall }x\in n,{△}^3{h}_x=0$，{$h_n$}为平方数数列。
更进一步的，我们发现每进行一次差分，原式的次数减一。
差分的优美性质还在于是线性算子：
$△(a_n+b_n)=△a_n+△b_n$