组合数学初步

入门：

先介绍三个简单的技术

插板法：

直接插板：

看下面的问题：

eg1:

$x+y+z=20$，其中$x,y,z$为正整数，求有多少组解。

我们考虑有$20$个球排成一排。我们插入两个板子把这$20$个球分成$3$个部分，其中第一部分的球的个数是$x$的大小，第二部分是$y$，第三部分是$z$。

这两个板子怎么插呢不难想到——插在$19$个缝里。也就是在$19$个缝里选$2$个。

答案是$C_{19}^2$

先转化，再插板（一一对应）：

eg2:

$x+y+z=17$，其中$x,y,z$为自然数，求有多少组解。

这个问题不好直接插板。因为可能有零的出现，多个板子可以插在同一个地方。你考虑这样一件事，就是说下面这个问题的解其实和上面的问题一样：

$(x+1)+(y+1)+(z+1)=20$，其中$x,y,z$为正整数，求有多少组解。

是不是豁然开朗。我令:
$a=x+1,b=y+1,c=z+1$,就是$a+b+c=20$,$a,b,c$为正整数，求解的组数，和最开始的问题毫无区别。而这其实建立里一组一一对应的关系把一组$a,b,c$的解对应到了一组$x,y,z$的解。

独立完成下面的问题：

eg3：

$x+y+z=14$，其中$x>=-1,y>=0,z>=-2$且$x,y,z$为整数，求有多少组解。

答案

原问题可以化为：(x+2)+(y+1)+(z+3)=20，其中(x+2),(y+1),(z+3)为正整数，求有多少组解。

捆绑法：

eg1：

有$ABCDEFGH$8个人要做$3$个任务，$EF$要分同一个任务，有多少种分配方法？

如果没有$EF$分同一个任务的限制，就是一个插板法，可既然$EF$要分在一起，当成一个人（下文用$K$表示）就行了，问题可以转化为：

看下面的问题：有$ABCDKGH$7个人要做$3$个任务，有多少种分配方法？

这个问题直接插板就行了。

进阶：

Catalan 数（卡特兰数）

引入：

先看几个问题：

eg1.

有$N$个数要按顺序放进一个栈里，每次有可能弹出栈顶或放入下一个元素，问有多少种过程。

eg2.

一个人从原点出发，若当前处于$(x,y)$，下一次可以走到$(x+1,y+1)$或$(x+1,y-1)$，走$2\ast N$步，不可以走到第四象限，最终走到$(2\ast N,0)$的轨迹数。

eg3.

有一个$N\ast N$的格点图：

从$A(0,0)$走到$B(N,N)$，不走对角线$AB$以下的方案数。

eg4.

$N+1$个节点的满二叉树的个数（可以把一个左儿子看成$+1$，一个右儿子看成$-1$）

发现了吗，这其实是一个问题,卡特兰数的模型是这样的;

• 从原点出发，向上走$N$步，向下走$N$步，其中只停留在正半轴的轨迹个数（可以到$x$轴）,记作$C_n$。

计算Catalan 数

先不考虑只在正半轴的条件，方案数就是$C_{2\ast n}^n$,这时我们只需要把不符合要求的删掉。
先看下面的图，这种方案显然不合要求：

记得上文插板法一一对应的思想吗？我们找到这条不合要求的线，把它第一次到x轴一下之后的部分关于y=-1对称。

显然对称后的轨迹最后一定停留在(2* N,-2)，也就是每一条不合要求的线都可以转化为一条从原点出发，最后到x=-2的轨迹。不难看出，反过来转化也是成立的。即这两者是一一对应的。现在只要算出有多少种情况最后停留在直线x=-2上，这很简单，2* N次选择N+1次向下。

这样我们得到了最朴素的计算公式：$C_N=C_{2\ast N}^N-C_{2\ast N}^{N+1}$
再稍微推导一下：

$C_N=C_{2\ast N}^N-C_{2\ast N}^{N+1}$

$=\frac{(N+1)(2* N)!}{(N+1)N!N!}-\frac{N(2 N)!}{ N(N+1)!(N-1)!} $

$=\frac{N\ast (2\ast N)!}{(N+1)!N!}$

$=\frac{C_{2\ast N}^N}{N+1}$