多项式和生成函数

多项式

概念：

对于一个求和$\sum a_nx^{n} $,\mathrm{如}\mathrm{果}\mathrm{这}\mathrm{个}\mathrm{式}\mathrm{子}\mathrm{是}\ast \ast \mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{项}\ast \ast ，\mathrm{则}\mathrm{称}\mathrm{该}\mathrm{式}\mathrm{为}\mathrm{多}\mathrm{项}\mathrm{式},\mathrm{记}\mathrm{作}$ f(x)= {\textstyle \sum_{n=0}^{m}} a_nx^{n} $\mathrm{可}\mathrm{列}\mathrm{项}\mathrm{相}\mathrm{加}\mathrm{的}\mathrm{求}\mathrm{和}\mathrm{式}\mathrm{称}\mathrm{为}\mathrm{级}\mathrm{数}。\mathrm{在}$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ 中，每项均为非负整数次幂函数乘常数系数，这种形式的级数称为幂级数。

乘法：

最核心的操作是两个多项式的乘法，即给定多项式 $f(x)$ 和 $g(x)$：

$\begin{array}{rlr}f(x)& =a_0+a_{1}x+\cdots +a_n{x}^n& (1)\\ g(x)& =b_0+b_{1}x+\cdots +b_m{x}^m& (2)\end{array}$

要计算多项式 $Q(x)=f(x)\cdot g(x)$：

$\boxed{{\displaystyle Q(x)=\sum _{i=0}^n\sum _{j=0}^m{a}_i{b}_j{x}^{i+j}}}=c_0+c_{1}x+\cdots +c_{n+m}{x}^{n+m}$
多项式或幂级数的乘法，满足结合律，关于加法满足分配律。若 R 为交换环或幺环，乘法相应的有交换律和单位元。

度：

对于一个多项式，它最高次项的次数为为度，简称$deg$。

代数基本定理

定义：

任意一个一元n次多项式至少存在一个根，n 次复系数多项式方程在复数域内有且只有 n 个根。