狄利克雷卷积

Part1.定义：

狄利克雷(Dirichlet)卷积是定义在数论函数上的一种二维运算，常常记为：

$h\left(x\right)=\sum _{ab=x}^{}f\left(a\right)\ast g\left(b\right)=\sum _{d|x}^{}f\left(x\right)\ast d\left(\frac{x}{d}\right)$

可简单记为：
$h=f\times g$

Part2.前置：

我们有必要先了解一些常见的积性函数：(有一些$Latex$实在打不出来)

• 1.单位函数

$\epsilon (n):=1(while\text{(}n==1))$

$\epsilon (n):=0(otherwise)$

• 2.幂函数
  ${\mathrm{Id}}_k(n):=n^k$ . 当 $k=1$ 时为恒等函数 $\text{Id}(n)$ ，当 $k=0$ 时为常数函数 $\text{bold}1(n)$

• 3.除数函数
  ${\sigma }_k(n):=\sum _{d|n}{d}^k$ ，当 k=1 时为因数和函数 $\sigma (n)$ ，当 $k=0$ 时为因数个数函数 ${\sigma }_0(n)$

• 4.欧拉函数
  $\phi \left(n\right)=\prod _{pi|n}^{}(1-\frac{1}{pi})$

这四个函数都是积性函数

积性函数：若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast },gcd(x,y)=1$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为积性函数。

其中1,2是完全积性函数

完全积性函数：若函数 $f(n)$ 满足 $f(1)=1$ 且 $\mathrm{\forall }x,y\in {\mathbf{N}}^{\ast }$ 都有 $f(xy)=f(x)f(y)$，则 $f(n)$ 为完全积性函数。

Part3.性质

众所周知若 $f(x)$ 和 $g(x)$ 均为积性函数，则：$h(x)=\sum _{d\mid x}f(d)g\left({\displaystyle \frac{x}{d}}\right)$也为积性函数,现在来证明这个性质：

证明：

设$a,b\in {\mathbf{N}}^{\ast },gcd(a,b)=1$

有$h(a)=\sum _{d\mid a}f(d)g\left({\displaystyle \frac{a}{d}}\right)$，

$h(b)=\sum _{d\mid b}f(d)g\left({\displaystyle \frac{b}{d}}\right)$,

$h(ab)=\sum _{d\mid ab}f(d)g\left({\displaystyle \frac{ab}{d}}\right)$

$h(a)\ast h(b)=\sum _{d\mid a}f(d)g\left({\displaystyle \frac{a}{d}}\right)\ast \sum _{d\mid b}f(d)g\left({\displaystyle \frac{b}{d}}\right)$

$=\sum _{d1\mid a,d2\mid b}f(d1)g\left({\displaystyle \frac{a}{d1}}\right)\ast f(d2)g\left({\displaystyle \frac{b}{d2}}\right)$

$=\sum _{d1\mid a,d2\mid b}f(d1\times d2)g\left({\displaystyle \frac{a\times b}{d1\times d2}}\right)$

由$gcd(a,b)=1$,得$d1\ne d2$

故$d1\ast d2|a\ast b$

原式$=\sum _{d\mid ab}f(d)g\left({\displaystyle \frac{ab}{d}}\right)$

$=h(ab)$

故当$a,b\in {\mathbf{N}}^{\ast },gcd(a,b)=1$时，$h(a)\times h(b)=h(ab)$

狄利克雷卷积还有一些性质：

• 1.交换律：$f\ast g=g\ast f$。
• 2.结合律：$(f\ast g)\ast h=f\ast (g\ast h)$。
• 3.分配律：$(f+g)\ast h=f\ast h+g\ast h$。

证明

1.交换律

$f\ast g=\sum _{ab=x}f(a)g(b)$

$a\leftrightarrow b$

$\sum _{ab=x}f(a)g(b)=\sum _{ba=x}f(b)g(a)$

$=g\ast f$

2.结合律

$(f\ast g)\ast h=\sum _{ab=x}f(a)g(b)\ast h$

$=\sum _{xy=n}(\sum _{ab=x}f(a)g(b))\ast h(y)$

$=\sum _{aby=x}f(a)g(b)h(y)$

$a\leftrightarrow y,b\leftrightarrow a,y\leftrightarrow b$

原式$=\sum _{aby=x}g(a)h(b)f(y)$

$=f\ast (g\ast h)$

3.分配律

$(f\ast (g+h))(n)=\sum _{xy=n}f(x)(g+h)(y)$

$=\sum _{xy=n}(f(x)g(y)+f(x)h(y))$

$=\sum _{xy=n}f(x)g(y)+\sum _{xy=n}f(x)h(y)$

$=(f\ast g)(n)+(f\ast h)(n)$