数学训练记录 2025.3

「NOI2015」寿司晚宴

https://www.gxyzoj.com/d/hzoj/p/P600

显然状压，可以用 0，1，2 表示这个因子在哪个序列中，因为 $n$ 的大小，不能表示到所有因子

因为大于 $\sqrt{n}$ 的因子只会和已加入的部分相乘，考虑只处理 $<\sqrt{n}$ 的因子

注意，这里的情况数指的是因子的包含情况至多是这样，便于相减求值

此时，分别枚举子集即可，时间复杂度 $O(3^{16})$

追寻 | Pursuit of Dream

https://www.gxyzoj.com/d/hzoj/p/LG8967

神仙概期

记 $f_i$ 为从 $i$ 号关键点到终点的期望，记出发点为 $f_0$，记 $P$ 为 $\sum p$

显然的，记 $s=\sum _{i=1}^n{d}_i-a_{x,i}$，那么从点 $x$　直接到终点的方案数相当于所有 $n$ 种元素的可重复排列，概率则显然为：

$$q_x=(1-P{)}^s\frac{1}{n^s}\frac{s!}{\prod (d_i-a_{x,i})!}$$

接下来看散入天际的情况，此时的期望一定是 $E=\sum \frac{p_i{f}_i}{P}$

接下来考虑步数，感性理解，如果不算走到终点，为 $\frac{1}{P}$

接下来看走到终点，为 $q_i(s+\frac{1}{P})$

相减并化简得 $(1-q_i)\ast \frac{1}{P}-q_{i}s$

带入 E 并化简得 $E={\displaystyle \frac{\sum p_i(1-q_i)}{P^2-P\sum p_i(1-q_i)}}$

带回，答案为 $(1-q_0)(E+\frac{1}{P})$

随机漫游

https://www.gxyzoj.com/d/hzoj/p/4541

设 $f_{i,s}$ 表示当前在点 $i$，已经经过的集合是 $s$，走完 $n$ 个点的期望

转移是：

$$f_{u,s}=\frac{1}{d_u}\sum _{(u,v)\in E}{f}_{v,s|(1<<(v-1))}+1$$

状态成环，对每个 $s$ 高斯消元即可

[JLOI2014] 路径规划

https://www.gxyzoj.com/d/hzoj/p/4542

难点在于到达红绿灯的时间不确定，期望可以看作一个函数 $y=\frac{a-x}{a+b}$ 的所有取值之和，可以求面积得红绿灯的期望为 $\frac{a^2}{2(a+b)}$

接下来就是最短路，关于油量限制，可以从每个加油站出发，看能不加油到达哪些加油站，然后建新图，把加油的贡献挂在后面的边上

对于红绿灯限制，建分层图处理即可

[JLOI2013] 地形生成

https://www.gxyzoj.com/d/hzoj/p/4543

先考虑第一问，先对高度 $h$ 进行排序。

如果没有重复，假设当前点为 $i$，限制数量小于等于 $p$，那么当前点的方案相当于在一个长度为 $i-1$ 的序列中的前 $p$ 个位置插入一个数，方案数为 $min(p+1,i)$。

对于有重复的位置，假设有 $t$ 个点高度大于当前位置，那么会增加 $i-t-1$ 种方案。

相加得方案数为 $min(p,t)+i-t$，最后相乘即可。

接下来看第二问，可以使用 DP，设 $f_{i,j}$ 表示当前为第 $i$ 个相同的数，插入到前 $j$ 个数后的方案数。

转移方程显然是 $f_{i,j}=\sum _{k=1}^{min(t-1,p_i,j)}{f}_{i-1,k}$。

因为是求前缀和，可以省掉一维，转移方程为 $f_k=f_{k-1}+f_k$。

最后对所有的 $f$ 求和，然后每种情况相乘即可。

这里因为限制松的情况更多，所以应先处理它们保证不重。

[HNOI2016] 最小公倍数

https://www.gxyzoj.com/d/hzoj/p/4544

原，但是读错题，就是加入小于等于当前所求 $a,b$ 的所有边，然后看连不连通，和这个联通块的最大值

因为涉及撤销，可以分块处理

[六省联考 2017] 期末考试

https://www.gxyzoj.com/d/hzoj/p/4545

枚举即可