二分图学习笔记

1. 概念

假设图\(G=(V,E)\)是无向图，若顶点集\(V\)可以分成两个互不相交的子集\((A,B)\)，且任意边\((i,j)\)两端点分别属于两子集，则图\(G\)是二分图

判断方法：染色法

匹配：无公共点的边集

匹配数：边集中边的个数

最大匹配：匹配数最大的匹配

增广路：设M是一个匹配，如果存在一条连接两个未匹配点的路径p,使得属于M和不属于M的边交替出现

性质：增广路长度一定为奇数，头尾不属于M，将奇偶互换后可以得到更大的匹配

2. 匈牙利算法

1. 置M为空

2. 找出一条增广路p,进行取反得到更大的M

3. 重复此过程，直到不存在增广路

具体步骤：

依次考虑左侧未匹配的点，一个右侧的点能与它匹配当且仅当它未被匹配或存在增广路

此时，递归左侧的点，为其寻找右侧匹配的点，用标记避免重复搜索