Pollard-Rho学习笔记

前置知识：生日悖论

不考虑出生年份（假设每年都是 365 天），问：一个房间中至少多少人，才能使其中两个人生日相同的概率达到\(50\%\)?

答案是23

考虑一个问题，设置一个数据n，在\([1,1000]\)里随机选取\(i\)个数（\(i=1\)时就是它自己），使它们之间有两个数的差值为\(k。当\)i=1$时成功的概率是 \(\dfrac{1}{1000}\)，当\(i=2\)时成功的概率是 \(\dfrac{1}{500}\)（考虑绝对值，\(k_2\)可以取$k_1-k \(或\)k_1+k\(），随着\)i$的增大，这个概率也会增大最后趋向于1

1.利用最大公约数求出一个约数

n和某个数的公约数一定是n的约数，即\(\forall k \in\mathbf{N}_{+},\gcd(k,n) \mid n\)，只要选取适当的k使得\(1<\gcd(k,n)< n\)，，就能够求得n的一个约数

满足这个条件的k很多，n的因数的大部分倍数都可行

我们通过\(f(x)=(x^2+c)\bmod n\)来生成一个序列\(\{x_i\}\)：随机取一个\(x_1\)，令\(x_2=f(x_1),x_3=f(x_2),\dots,x_i=f(x_{i-1})\),其中c是一个随机选取的常数

举个例子：

n=50,c=6,x_1=1，f(x) 生成的数据为：\(1, 7, 5, 31, 17, 45, 31, 17, 45, 31,\dots\)

可以发现在x以后，生成的数就在\(31,17,45\)之间循环了

如果将这些数如下图一样排列起来，会发现这个图像酷似一个\(\rho\)，算法也因此得名 rho

该式子满足\(\forall x \equiv y(\bmod p), f(x)\equiv f(y)(\bmod p)\)，其中\(p|n\)

证明：
若\(x\equiv y \pmod p\)，则可以将它们表示为\(x=k_1p+a\)，\(y=k_2p+a\)，满足\(k_1,k_2,a\in \mathbb{Z},a\in \left[0,p\right)\)。
\(f(x)=(x^2+c) \bmod n\)，因此\(f(x)=x^2+c-kn\)，其中\(k \in \mathbb{Z}\)。

\[\begin{aligned} f(x) & = x^2+c-kn\\ & = (k_1p+a)^2+c-kn\\ & = k_1^2 p^2+2k_1pa+a^2+c-kn\\ & \equiv a^2+c \pmod p \end{aligned} \]

同理，\(f(y) \equiv a^2+c \pmod p\)，因此\(f(x) \equiv f(y) \pmod p\)。

根据生日悖论，序列中的不同值约为\(\sqrt{n}\)个，设\(m\)为\(n\)的最小非平凡因子，显然有\(m\leq \sqrt{n}\)

将\(\{x_i\}\)的每一项对m取模，得到序列\(\{y_i\}\)，根据生日悖论，不同值的个数约为\(O(n^{\frac{1}{4}})\)

实现上可以使用floyd判环或倍增优化