分数规划学习笔记

1. 用途

分数规划常用于求一个分式的极值，就是给出两个序列$a_i$和$b_i$，使得${\displaystyle \frac{\sum a_i\times w_i}{\sum b_i\times w_i}}$的值最大或最小，其中$w\in \{0,1\}$

通常，题目中还会有类似于$\sum b_i>w$的限制

2. 解法

通常使用二分，记当前二分的值为mid

$$\begin{array}{rl}& \because {\displaystyle \frac{\sum a_i\times w_i}{\sum b_i\times w_i}}\ge mid\\ & \therefore \sum a_i\times w_i\ge mid\times \sum b_i\times w_i\\ & \therefore \sum a_i\times w_i-mid\times \sum b_i\times w_i\ge 0\\ & \therefore \sum w_i\times (a_i-mid\times b_i)\ge 0\end{array}$$

所以，在每一次check的时候，求出不等式右边的最大值判断即可，而这一部分显然可以用0/1背包完成

3. 例题

P4377 [USACO18OPEN] Talent Show G

按照上述方法二分即可，对于重量的限制可以以重量为下标，求0/1背包判断即可

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
int n,w,a[255],b[255];
ll f[10005];
bool check(int x)
{
	memset(f,128,sizeof(f));
	f[0]=0;
	ll tmp=f[w];
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		for(int j=w;j>=0;j--)
		{
			if(tmp==f[j]) continue;
			int k=j+a[i];
			k=min(k,w);
			f[k]=max(f[k],f[j]+b[i]-1ll*a[i]*x);
		}
	}
	if(f[w]>=0) return 1;
	return 0;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&w);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&a[i],&b[i]);
		b[i]*=1000;
	}
	int l=0,r=100000;
	while(l<r)
	{
	//	printf("%d %d\n",l,r);
		int mid=(l+r+1)>>1;
		if(check(mid))
		{
			l=mid;
		}
		else r=mid-1;
	}
	printf("%d",l);
	return 0;
}