树哈希学习笔记

1. 作用

判断一些树是否同构。

2. 方法

2.1. 具体操作

这类方法需要一个多重集的哈希函数。以某个结点为根的子树的哈希值，就是以它的所有儿子为根的子树的哈希值构成的多重集的哈希值，即：

$$h_u=f(\{h_v|v\in son(u)\})$$

其中$h_x$表示以$x$为根的子树的哈希值，$f$是多重集的哈希函数

以代码中运用的哈希方法为例，式子是：

$$h_u=(1+\sum _{v\in son(u)}g(h_v))modp$$

其中，g(i)表示整数到整数的映射，说人话就是一种运算，将一个整数转化为另一个整数

2.2. 代码

例题：[uoj763]树哈希(模板)

#include<bits/stdc++.h>
#define ull unsigned long long
using namespace std;
int n,head[1000005],edgenum;
struct edge{
	int to,nxt;
}e[2000005];
void add_edge(int u,int v)
{
	e[++edgenum].nxt=head[u];
	e[edgenum].to=v;
	head[u]=edgenum;
}
ull mask;
ull get_hash(ull x)
{
	x^=mask;
	x^=x<<13;
	x^=x>>7;
	x^=x<<17;
	x^=mask;
	return x;
}
ull h[1000005];
set<ull> tr;
void dfs(int u,int fa)
{
	h[u]=1;
	for(int i=head[u];i;i=e[i].nxt)
	{
		int v=e[i].to;
		if(v==fa) continue;
		dfs(v,u);
		h[u]+=get_hash(h[v]);
	}
	tr.insert(h[u]);
}
int main()
{
	srand((unsigned)time(0));
	mask=1ll*rand()*rand();
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		int u,v;
		scanf("%d%d",&u,&v);
		add_edge(u,v);
		add_edge(v,u);
	}
	dfs(1,0);
	printf("%d",tr.size());
	return 0;
}

2.3. 正确性证明

每次前后各异或一次mask，其实相当于一种加密和解密的过程，第一次是解密，第二次是加密

每一次get_hash运算，都是对解密后的数字进行处理，所以最后的得数都是与mask进行一次异或运算的结果

因为求解方法是相加，所以若两棵树同构，经过运算后数的和必然相同