BSGS学习笔记

1. 求解问题

1.1. 高次同余方程

给定 \(a,b,p\) , \(a,p\) 互质，求满足 \(a^x \equiv b (\bmod\ p)\)的解 \(x\)

2. 解法

由扩展欧拉定理 \(a^p \equiv a^{x\ mod\ \varphi(p)}\ (\bmod\ p)\)

得 \(a^x\) 模 \(p\) 意义下的最小循环节为 \(\varphi(p)\)

\(\because\ \varphi(p)<p\)

\(\therefore\) 在 \(0\) ~ \(p\) 范围内，一定能找到最小的 \(x\)

2.1. 暴力枚举

时间复杂度 \(O(p)\)

2.2. BSGS

令 \(x=im-j\) ，满足 \(m=\lceil \sqrt{p}\ \rceil,i \in [1,m],j \in [0,m-1]\)

有 \(a^{im-j} \equiv b (\bmod\ p)\)

即 \((a^m)^i \equiv ba^j(\bmod\ p)\)

1.枚举 \(j\) ，计算等式右边的结果，存入哈希表，结果相同，则取较大的 \(j\)

2.枚举 \(i\) ，计算左边的结果，在哈希表中查找，用 \(x=im-j\) 求答案

因为\(m=\lceil \sqrt{p}\ \rceil,i,j \le m\),时间复杂度为\(O(\sqrt{p})\)

3. 代码

例题： [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
map<ll,ll> h;
ll bsgs(ll a,ll b,ll p)
{
	a%=p,b%=p;
	if(b==1) return 0;
	ll m=ceil(sqrt(p));
	ll t=b;
	h[b]=0;
	for(int j=1;j<m;j++)
	{
		t=t*a%p;
		h[t]=j;
	}
	ll x=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		x=x*a%p;
	}
	t=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		t=t*x%p;
		if(h.count(t))
		{
			return i*m-h[t];
		}
	}
	return -1;
	
}
ll n,b,p;
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&p,&b,&n);
	ll res=bsgs(b,n,p);
	if(res==-1) printf("no solution");
	else printf("%lld",res);
	return 0;
}

本人很菜，有锅请各位大佬指出