BSGS学习笔记

1. 求解问题

1.1. 高次同余方程

给定 $a,b,p$ , $a,p$ 互质，求满足 $a^x\equiv b(modp)$的解 $x$

2. 解法

由扩展欧拉定理 $a^p\equiv a^{xmod\phi (p)}(modp)$

得 $a^x$ 模 $p$ 意义下的最小循环节为 $\phi (p)$

$\because \phi (p)<p$

$\therefore$ 在 $0$ ~ $p$ 范围内，一定能找到最小的 $x$

2.1. 暴力枚举

时间复杂度 $O(p)$

2.2. BSGS

令 $x=im-j$ ，满足 $m=\lceil \sqrt{p}\rceil ,i\in [1,m],j\in [0,m-1]$

有 $a^{im-j}\equiv b(modp)$

即 $(a^m{)}^i\equiv b{a}^j(modp)$

1.枚举 $j$ ，计算等式右边的结果，存入哈希表，结果相同，则取较大的 $j$

2.枚举 $i$ ，计算左边的结果，在哈希表中查找，用 $x=im-j$ 求答案

因为$m=\lceil \sqrt{p}\rceil ,i,j\le m$,时间复杂度为$O(\sqrt{p})$

3. 代码

例题： [TJOI2007] 可爱的质数/【模板】BSGS

#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
map<ll,ll> h;
ll bsgs(ll a,ll b,ll p)
{
	a%=p,b%=p;
	if(b==1) return 0;
	ll m=ceil(sqrt(p));
	ll t=b;
	h[b]=0;
	for(int j=1;j<m;j++)
	{
		t=t*a%p;
		h[t]=j;
	}
	ll x=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		x=x*a%p;
	}
	t=1;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		t=t*x%p;
		if(h.count(t))
		{
			return i*m-h[t];
		}
	}
	return -1;
	
}
ll n,b,p;
int main()
{
	scanf("%lld%lld%lld",&p,&b,&n);
	ll res=bsgs(b,n,p);
	if(res==-1) printf("no solution");
	else printf("%lld",res);
	return 0;
}

本人很菜，有锅请各位大佬指出