概率学习笔记

一些定义

随机事件：某些现象，在个别试验中，其结果呈不确定性，但在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。

随机试验：

1. 可以在相同的条件下重复进行
2. 每次试验的可能结果可以不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
3. 进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现

样本空间：某个随机试验的所有可能的结果的集合，记为 \(S\)

样本点：\(S\) 的元素即试验的每个结果

随机事件：\(S\) 的子集，简称事件

1. 基本事件：由一个样本点组成的单个元素的集合

2. 必然事件：在某种条件下一定会发生的事件

3. 不可能事件：在某种条件下一定不会发生的事件

频数: \(n\) 次试验中事件 \(A\) 出现的次数 \(n_A\)为事件 \(A\) 的频数

频率：\(A\) 事件出现的比例 \(f_n(A)=\frac{n_A}{n}\)

概率：对于随机事件 \(A\) ，由于事件 \(A\) 发生的频率随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作 \(P(A)\) ,即概率

1.事件关系即运算

1.1 包含关系：如果 \(A\) 发生，则 \(B\) 一定发生，这时称 \(B\) 包含\(A\) ，记作 \(B \supseteq A\) 或 \(A \subseteq B\)

1.2 相等关系： 若 \(B \supseteq A\) 且 \(A \supseteq B\) 则 \(A=B\)

1.3 并事件：某事件发生当且仅当 \(A\) 发生或 \(B\) 发生，记作 \(A \cup B\)

1.4 交事件：某事件发生当且仅当 \(A\) 发生且 \(B\) 发生，记作 \(A \cap B\)

1.5 互斥事件：若 \(A \cap B\) 为不可能事件，则称 \(A\) 与 \(B\) 互斥，记作 \(A \cap B = \emptyset\)

1.6 对立事件： \(A \cap B\) 为不可能事件， \(A \cup B\) 为必然事件,有 \(P(A \cup B)=1\)，\(P(A)=1-P(B)\)

1.7 计算：构成事件 \(A\) 的基本事件有 \(a\) 个，不构成事件 \(A\) 的基本事件有 \(b\) 个,则 \(P(A)=\frac{a}{a+b}\)

2.概率的基本性质

2.1 \(0 \le P(A) \le 1\)

2.2 必然事件概率为1，不可能事件概率为0

2.3 若 \(A \cap B = \emptyset\) ，则 \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)

2.4 互斥事件有可加性

2.5 相互独立的事件有可乘性

3.条件概率

记 \(P(B|A)\) 为 \(A\) 已经发生的前提下 \(B\) 发生的概率，则 \(P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}\)

4.定理与公式

4.1 乘法公式： \(P(AB)=P(B|A)\times P(A)=P(A|B)\times P(B)\)

4.2 全概率公式：设 \(A_1,A_2,A_3,\dots,A_n\)为两两互斥的事件，且\(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n=\Omega\),且 \(P(A_i)>0\),对于任意事件 \(B \subseteq \Omega\),则对 \(\Omega\) 中的任意事件 \(B\) 有

\[P(B)=\sum_{i=1}^n P(A_i)P(B|A_i) \]

4.3 贝叶斯公式

设 \(A_1,A_2,A_3,\dots,A_n\)为两两互斥的事件，且\(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n=\Omega\)，且 \(P(A_i)>0\),则对于任意事件 \(B \subseteq \Omega\) 有

\[P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum_{k=1}^n P(A_k)P(B|A_k)},i=1,2,\dots,n \]

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