概率学习笔记

一些定义

随机事件：某些现象，在个别试验中，其结果呈不确定性，但在大量重复试验中其结果又具有统计规律性。

随机试验：

1. 可以在相同的条件下重复进行
2. 每次试验的可能结果可以不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结果
3. 进行一次试验之前不能确定哪个结果会出现

样本空间：某个随机试验的所有可能的结果的集合，记为 $S$

样本点：$S$ 的元素即试验的每个结果

随机事件：$S$ 的子集，简称事件

1. 基本事件：由一个样本点组成的单个元素的集合

2. 必然事件：在某种条件下一定会发生的事件

3. 不可能事件：在某种条件下一定不会发生的事件

频数: $n$ 次试验中事件 $A$ 出现的次数 $n_A$为事件 $A$ 的频数

频率：$A$ 事件出现的比例 $f_n(A)=\frac{n_A}{n}$

概率：对于随机事件 $A$ ，由于事件 $A$ 发生的频率随着试验次数的增加稳定在某个常数上，把这个常数记作 $P(A)$ ,即概率

1.事件关系即运算

1.1 包含关系：如果 $A$ 发生，则 $B$ 一定发生，这时称 $B$ 包含$A$ ，记作 $B\supseteq A$ 或 $A\subseteq B$

1.2 相等关系： 若 $B\supseteq A$ 且 $A\supseteq B$ 则 $A=B$

1.3 并事件：某事件发生当且仅当 $A$ 发生或 $B$ 发生，记作 $A\cup B$

1.4 交事件：某事件发生当且仅当 $A$ 发生且 $B$ 发生，记作 $A\cap B$

1.5 互斥事件：若 $A\cap B$ 为不可能事件，则称 $A$ 与 $B$ 互斥，记作 $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$

1.6 对立事件： $A\cap B$ 为不可能事件， $A\cup B$ 为必然事件,有 $P(A\cup B)=1$，$P(A)=1-P(B)$

1.7 计算：构成事件 $A$ 的基本事件有 $a$ 个，不构成事件 $A$ 的基本事件有 $b$ 个,则 $P(A)=\frac{a}{a+b}$

2.概率的基本性质

2.1 $0\le P(A)\le 1$

2.2 必然事件概率为1，不可能事件概率为0

2.3 若 $A\cap B=\mathrm{\varnothing }$ ，则 $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$

2.4 互斥事件有可加性

2.5 相互独立的事件有可乘性

3.条件概率

记 $P(B|A)$ 为 $A$ 已经发生的前提下 $B$ 发生的概率，则 $P(B|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$

4.定理与公式

4.1 乘法公式： $P(AB)=P(B|A)\times P(A)=P(A|B)\times P(B)$

4.2 全概率公式：设 $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_n$为两两互斥的事件，且$A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=\mathrm{\Omega }$,且 $P(A_i)>0$,对于任意事件 $B\subseteq \mathrm{\Omega }$,则对 $\mathrm{\Omega }$ 中的任意事件 $B$ 有

$$P(B)=\sum _{i=1}^{n}P(A_i)P(B|A_i)$$

4.3 贝叶斯公式

设 $A_1,A_2,A_3,\dots ,A_n$为两两互斥的事件，且$A_1\cup A_2\cup \cdots \cup A_n=\mathrm{\Omega }$，且 $P(A_i)>0$,则对于任意事件 $B\subseteq \mathrm{\Omega }$ 有

$$P(A_i|B)=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}=\frac{P(A_i)P(B|A_i)}{\sum _{k=1}^{n}P(A_k)P(B|A_k)},i=1,2,\dots ,n$$

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