笛卡尔树学习笔记

1.定义

笛卡尔树是一种特殊的二叉树，同时满足小根堆和二叉搜索树的性质，笛卡尔树的每个节点有两个值（k,w），k满足二叉搜索树性质，w满足小根堆性质。Treap也是一种笛卡尔树

2.性质

1. 如果k,w是分别两两不同的，那么笛卡尔树也是唯一的

2. 对于一颗笛卡尔树，它的中序遍历是原序列a

3. 在原序列中的区间[l,r]的最小值,是l,r的最近公共祖先

3.建树

3.1.栈构建

先将元素按键值k排序，再依次插入笛卡尔树中，那么每次我们插入的元素必然在这个树的右链（右链：即从根结点一直往右子树走，经过的结点形成的链）的末端，然后从下往上比较右链节点x与当前节点u的w，若找到某个节点满足$u_w>x_w$，则把u接到x的右儿子上，而x原本的右子树就变成u的左子树

显然，每个点最多进出右链1次，所以可用栈维护，时间复杂度O（n）

3.2.代码

例题：【模板】笛卡尔树

https://www.luogu.com.cn/problem/P5854

#include<cstdio>
#define ll long long
using namespace std;
int n,a[10000007],s[10000007],ls[10000007],rs[10000007],top;
ll ans1,ans2;
void build()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		int k=top;
		while(k&&a[s[k]]>a[i]) k--;
	//	printf("%d %d\n",top,k);
		if(k) rs[s[k]]=i;
		if(k<top) ls[i]=s[k+1];
		s[++k]=i;
		top=k;
	}
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	}
	build();
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll x=1ll*i*(ls[i]+1),y=1ll*i*(rs[i]+1);
		ans1^=x,ans2^=y;
	//	printf("%d %d\n",ls[i],rs[i]);
	}
	printf("%lld %lld",ans1,ans2);
	return 0;
}