可积函数未必具有原函数,具有原函数的函数未必可积
可积函数未必具有原函数
例如 Riemann 函数
\[R(x)= \left\{ \begin{array}{rl} 1, & x=0, \\ 1/p, & x=p/q,(q>0,(p,q)=1), \\ 0 ,& x\text{为无理数}. \end{array} \right.\]
若 $R(x)$ 有原函数 $F(x)$ ,即 $F'(x)=R(x) \quad(a\leqslant x\leqslant b).$
根据 Darboux 定理，$R(x)$ 在 $[a,b]$ 应具有介值性，但从 $R(x)$ 定义可知它不具有介值性，故 $R(x)$ 没有原函数。
具有原函数的函数未必可积
例如 $$F(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^2\sin\frac{1}{x^2},&x\neq 0,\\ 0,&x=0.\end{array} \right.$$
则$$F'(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2},&x\neq 0,\\ 0,&0.\end{array}\right.$$
若记 $f(x)=F'(x)$ ，则 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有原函数 $F$，但 $f$ 在 $(0,1)$ 上不可积，因为它在 $[0,1]$ 上无界.
可积函数未必具有原函数 例如 Riemann 函数 $$ R(x)= \left\{ \begin{array}{rl} 1, & x=0, \\ 1/p, & x=p/q,(q>0,(p,q)=1), \\ 0 ,& x\text{为无理数}. \end{array} \right. $$ 若 $R(x)$ 有原函数 $F(x)$ ,即 $F'(x)=R(x) \quad(a\leqslant x\leqslant b).$ 根据 Darboux 定理，$R(x)$ 在 $[a,b]$ 应具有介值性，但从 $R(x)$ 定义可知它不具有介值性，故 $R(x)$ 没有原函数。 具有原函数的函数未必可积 例如 $$F(x)=\left\{\begin{array}{cl} x^2\sin\frac{1}{x^2},&x\neq 0,\\ 0,&x=0.\end{array} \right.$$ 则$$F'(x)=\left\{\begin{array}{cl} 2x\sin\frac{1}{x^2}-\frac{2}{x}\cos\frac{1}{x^2},&x\neq 0,\\ 0,&0.\end{array}\right.$$ 若记 $f(x)=F'(x)$ ，则 $f$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上具有原函数 $F$，但 $f$ 在 $(0,1)$ 上不可积，因为它在 $[0,1]$ 上无界.
