数学分析的方法及例题选讲--分析学的思想、方法与技巧--徐利治

1.(分部求和法)设$s_k=a_1+a_2+\dots+a_n(k=1,2,3,\dots),$则 $$\sum_{k=1}^{n}a_kb_k=\sum_{k=1}^{n-1}s_k(b_k-b_{k+1})+s_nb_n.$$

证明：只要将$a_1=s_1,a_k=s_k-s_{k-1}(k=2,3,\dots)$代入等式的左边，就可以看出等式是成立的.

 

2.设$s_n=a_1+a_2+\dots+a_n \rightarrow s(n\rightarrow \infty)$ $$\sum_{k=1}^{n}a_kb_k=sb_1+(s_n-s)b_n-\sum_{k=1}^{n-1}(s_k-s)(b_{k+1}-b_k).$$

提示：上面左边出现的$s$实际是可以消去的.

 

3.(Abel引理)若对于一切$n=1,2,3,\dots$而言， $$b_1\geqslant b_2\geqslant \dots \geqslant b_n\geqslant 0,$$ $$m\leqslant a_1+a_2+\dots+a_n\leqslant M.$$则有 $$b_1m\leqslant a_1b_1+a_2b_2+\dots+a_nb_n\leqslant b_1M.$$

证明：应用命题1，并注意$m\leqslant s_k \leqslant M, b_k-b_{k+1}\geqslant 0,$便得到 $$\sum_{k=1}^{n}a_kb_k\leqslant \sum_{k=1}^nM(b_k-b_{k+1})+Mb_n=Mb_1,$$ $$\sum_{k=1}^n\geqslant \sum_{k=1}^nm(b_k-b_{k+1})+mb_n=mb_1.$$

 

4. [Abel]设对一切$n$而言,$f_n\geqslant f_{n+1}\geqslant 0.$又设
$$A=\mathrm{max}(\verb"|"a_1\verb"|",\verb"|"a_1\verb"|"+\verb"|"a_2\verb"|",\dots,\verb"|"a_1\verb"|"+\verb"|"a_2\verb"|"+\dots+\verb"|"a_n\verb"|").$$
则得$$\verb"|"\sum_{n+1}^ma_nf_n\verb"|"\leqslant Af_1.$$

 

证明： 设$s_m=\sum_{n=1}^m\verb"|"a_n\verb"|"$,由分部求和法有
$$\verb"|"\sum_{n+1}^ma_nf_n\verb"|"\leqslant \sum_{n=1}^m\verb"|"a_n\verb"|"f_n=\sum_{n=1}^{m-1}s_n(f_n-f_{n+1})+s_mf_m\leqslant \sum_{n=1}^{m-1}A(b_n-b_{n+1})+Af_m=Af_1.$$

 

5.   设$a_1,a_2,\dots,w_1,w_2,\dots$为任意实数或复数.又设$A$代表加式$\verb"|" \sum_{n=1}^pa_n\verb"|",(p=1,2,\dots,m)$中的最大值，则得
$$\verb"|"\sum_{n=1}^ma_nw_n\verb"|"\leqslant A\{\sum_{n=1}^{m-1}\verb"|"w_{n+1}-w_n\verb"|"+\verb"|"w_m\verb"|"\}.$$

 

 

6.  [克朗内克]设$\phi(n)>0,\phi(n)\uparrow \infty(n\rightarrow \infty).$又设$\sum a_n$为收敛.则有
$$\sum_{k=1}^na_k\phi(k)=o(\phi(n))(n\rightarrow \infty).$$

证明：本题可用分部求和法（命题2）来证.令$N$表任一固定的正整数而$n>N+2$.按假设，$s_n-s=o(1)(n\rightarrow \infty)$,显然可书
$$\sum_{k=1}^na_k\phi(k)=(s_n-s)\phi(n)+s\phi(1)-\sum_{k=1}^{n-1}(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}$$
$$=o(\phi(n))+O(1)-\sum_{k=1}^N(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}-\sum_{N+1}^{n-1}(s_k-s)\{\phi(k+1)-\phi(k)\}.$$
故对于任一固定$N$而言，我们有
$$\verb"|"\sum_{k=1}^na_k\phi(k)\verb"|"\leqslant o(\phi(n))+O(1)+O(1)+\varepsilon_N\sum_{N+1}^{n-1}\{\phi{k+1}-\phi(k)\},(n\rightarrow \infty)$$
此处$\varepsilon_N\rightarrow 0(N\rightarrow \infty)$,因此对于任意预先给定的$\varepsilon>0$(不论如何小),总可选$N$充分大，使得
$$\verb"|"\sum_{k=1}^na_k\phi(k)\verb"|"\leqslant o(\phi(n))+\varepsilon_N\phi(n)\leqslant o(\phi(n))+\varepsilon\phi(n).$$
由于上式左端与$\varepsilon$并无关系，自然可令$\varepsilon\rightarrow 0.$故命题得证.