309. 最佳买卖股票时机含冷冻期
给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。
设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:
你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。
示例:
输入: [1,2,3,0,2]
输出: 3
解释: 对应的交易状态为: [买入, 卖出, 冷冻期, 买入, 卖出]
解:这道题让我对动态规划的理解进了一步，理解了之前一个大神写的对状态这个词的理解
动态规划
思路与算法
我们用 f[i]f[i] 表示第 ii 天结束之后的「累计最大收益」。根据题目描述，由于我们最多只能同时买入（持有）一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此我们会有三种不同的状态：
我们目前持有一支股票，对应的「累计最大收益」记为 f[i][0]；
我们目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 f[i][1]；
我们目前不持有任何股票，并且不处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 f[i][2]。
这里的「处于冷冻期」指的是在第 ii 天结束之后的状态。也就是说：如果第 ii 天结束之后处于冷冻期，那么第 i+1 天无法买入股票。
如何进行状态转移呢？在第 ii 天时，我们可以在不违反规则的前提下进行「买入」或者「卖出」操作，此时第 ii 天的状态会从第 i-1 天的状态转移而来；我们也可以不进行任何操作，此时第 ii 天的状态就等同于第 i-1 天的状态。那么我们分别对这三种状态进行分析：
对于 f[i][0]，我们目前持有的这一支股票可以是在第 i-1i−1 天就已经持有的，对应的状态为 f[i-1][0]；或者是第 i 天买入的，那么第 i-1天就不能持有股票并且不处于冷冻期中，对应的状态为 f[i-1][2] 加上买入股票的负收益 prices[i]。其他的类似 看代码
class Solution { public: int maxProfit(vector<int>& prices) { if (prices.empty()) { return 0; } int n = prices.size(); // f[i][0]: 手上持有股票的最大收益 // f[i][1]: 手上不持有股票，并且处于冷冻期中的累计最大收益 // f[i][2]: 手上不持有股票，并且不在冷冻期中的累计最大收益 vector<vector<int>> f(n, vector<int>(3)); f[0][0] = -prices[0]; for (int i = 1; i < n; ++i) { f[i][0] = max(f[i - 1][0], f[i - 1][2] - prices[i]); f[i][1] = f[i - 1][0] + prices[i]; f[i][2] = max(f[i - 1][1], f[i - 1][2]); } return max(f[n - 1][1], f[n - 1][2]); } };
动态规划思路与算法
我们用 f[i]f[i] 表示第 ii 天结束之后的「累计最大收益」。根据题目描述，由于我们最多只能同时买入（持有）一支股票，并且卖出股票后有冷冻期的限制，因此我们会有三种不同的状态：
我们目前持有一支股票，对应的「累计最大收益」记为 f[i][0]f[i][0]；
我们目前不持有任何股票，并且处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 f[i][1]f[i][1]；
我们目前不持有任何股票，并且不处于冷冻期中，对应的「累计最大收益」记为 f[i][2]f[i][2]。
这里的「处于冷冻期」指的是在第 ii 天结束之后的状态。也就是说：如果第 ii 天结束之后处于冷冻期，那么第 i+1i+1 天无法买入股票。
如何进行状态转移呢？在第 ii 天时，我们可以在不违反规则的前提下进行「买入」或者「卖出」操作，此时第 ii 天的状态会从第 i-1i−1 天的状态转移而来；我们也可以不进行任何操作，此时第 ii 天的状态就等同于第 i-1i−1 天的状态。那么我们分别对这三种状态进行分析：
对于 f[i][0]f[i][0]，我们目前持有的这一支股票可以是在第 i-1i−1 天就已经持有的，对应的状态为 f[i-1][0]f[i−1][0]；或者是第 ii 天买入的，那么第 i-1i−1 天就不能持有股票并且不处于冷冻期中，对应的状态为 f[i-1][2]f[i−1][2] 加上买入股票的负收益 {\it prices}[i]prices[i]。因此状态转移方程为：
f[i][0] = \max(f[i-1][0], f[i-1][2] - {\it prices}[i])f[i][0]=max(f[i−1][0],f[i−1][2]−prices[i])
对于 f[i][1]f[i][1]，我们在第 ii 天结束之后处于冷冻期的原因是在当天卖出了股票，那么说明在第 i-1i−1 天时我们必须持有一支股票，对应的状态为 f[i-1][0]f[i−1][0] 加上卖出股票的正收益 {\it prices}[i]prices[i]。因此状态转移方程为：
f[i][1] = f[i-1][0] + {\it prices}[i]f[i][1]=f[i−1][0]+prices[i]
对于 f[i][2]f[i][2]，我们在第 ii 天结束之后不持有任何股票并且不处于冷冻期，说明当天没有进行任何操作，即第 i-1i−1 天时不持有任何股票：如果处于冷冻期，对应的状态为 f[i-1][1]f[i−1][1]；如果不处于冷冻期，对应的状态为 f[i-1][2]f[i−1][2]。因此状态转移方程为：
f[i][2] = \max(f[i-1][1], f[i-1][2])f[i][2]=max(f[i−1][1],f[i−1][2])
这样我们就得到了所有的状态转移方程。如果一共有 nn 天，那么最终的答案即为：
\max(f[n-1][0], f[n-1][1], f[n-1][2])max(f[n−1][0],f[n−1][1],f[n−1][2])
注意到如果在最后一天（第 n-1n−1 天）结束之后，手上仍然持有股票，那么显然是没有任何意义的。因此更加精确地，最终的答案实际上是 f[n-1][1]f[n−1][1] 和 f[n-1][2]f[n−1][2] 中的较大值，即：
\max(f[n-1][1], f[n-1][2])max(f[n−1][1],f[n−1][2])
细节
我们可以将第 00 天的情况作为动态规划中的边界条件：
\begin{cases} f[0][0] &= -{\it prices}[0] \\ f[0][1] &= 0 \\ f[0][2] &= 0 \end{cases}⎩⎪⎨⎪⎧ f[0][0]f[0][1]f[0][2] =−prices[0]=0=0
作者：LeetCode-Solution链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-cooldown/solution/zui-jia-mai-mai-gu-piao-shi-ji-han-leng-dong-qi-4/来源：力扣（LeetCode）著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
