组合数学 单色三角形,,（排列组合+容斥原理）

　　题目：空间里有n个点，任意三点不共线。每两个点之间都用红色或者黑色线段链接。如果

一个三角形的三条边同色，则这个三角形是单色三角形。对于给定的红色线段列表，

找出单色三角形的个数。

 

　　分析：由于三角形总数C(n,3)，所以求出异色三角形个数就求出了同色三角形个数。用暴力

枚举的方法，我们将遍历所有的三角形，时间复杂度为O(n^3),则必定超时。而经过推敲，我们会

发现这样的对应关系，一个异色三角形存在两个顶点，在该三角形中与它们相邻的两边是不同色

的；而对从一个顶点出发的两条异色边都属于一个异色三角形。这是个一对二的关系。设第i个点

连接了ai条红边、n-1-ai条黑边，这些边一定属于ai(n-1-ai)个不同的异色三角形。由于异色三角形

都会被考虑两次，所以最终的答案为ans/2。这个思想只需要从第一个顶点遍历到最后一个顶点，

所以时间复杂度是O(n)。

 

 

#include<iostream>
#include<vector>

using namespace std;
const int maxn = 10000;
int n, m, T;
long long ans;
vector<int>s[maxn];
int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin >> T;
    while (T--)
    {
        s->clear();
        cin >> n >> m;
        for (int i = 1; i <= m; i++)
        {
            int a, b;
            cin >> a >> b;
            s[a].push_back(b);
            s[b].push_back(a);
        }
        for (int i = 1; i <= n; i++)
            ans += (n - 1 - s[i].size())*s[i].size();
        ans /= 2;
        cout << (n*(n - 1)*(n - 2)) / 6 - ans << endl;
    }
    return 0;
}