小孩召开法的一个尝试

~~三年之期已到！~~

我们考虑一个 DFA，它接受的字符是 < 和 >，每条转移边上有个边权，每个节点有个终止权值。定义一个排列的权值是把它的相邻不等关系抠出来，走过的边权值相乘，最后乘以终点的终止权值。试对 $\sum_n \left(\sum_{p\in \pi_ n} w(p)\right) x^n∑n(∑p∈πnw(p))xn 建立生成函数。$

我们以小孩召开法为例。

「2019 山东一轮集训 Day3」小孩召开法总共有两个状态，上升（ $AA，w(A\xrightarrow{<} A) = w(D\xrightarrow{>} D)=1w(A<A)=w(D>D)=1，w(A\xrightarrow{>} D)=w(D\xrightarrow{<} A)=qw(A>D)=w(D<A)=q，而终止权值均为 11。$

利用概率密度扩充状态（咋用啊？），其中

$\begin{aligned} A(t) &= 1+ x\cdot \int_0^t (A(\tau)+qD(\tau)) \,\mathrm{d} \tau\\ D(t) &= x\cdot \int_t^1(qA(\tau)+D(\tau)) \,\mathrm{d} \tau \end{aligned}A(t)D(t)=1+x⋅∫0t(A(τ)+qD(τ))dτ=x⋅∫t1(qA(τ)+D(τ))dτ$

转换为微分方程组：

$\begin{aligned} A' &= x\cdot (A+qD)\\ D' &= -x \cdot (qA+D) \end{aligned}A′D′=x⋅(A+qD)=−x⋅(qA+D)$

写成矩阵的形式：

$\begin{bmatrix} A\\ D \end{bmatrix}' = x \cdot \begin{bmatrix} 1&q\\ -q&-1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} A\\ D \end{bmatrix}[AD]′=x⋅[1−qq−1]⋅[AD]$

把矩阵对角化，

$\begin{aligned} \begin{bmatrix} 1&q\\ -q&-1 \end{bmatrix} &= P^{-1}DP\\ D &= \begin{bmatrix} -\sqrt{1-q^2}&\\ &\sqrt{1-q^2} \end{bmatrix}\\ P &= \begin{bmatrix} \dfrac{q}{2 \sqrt{1-q^2}} & \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{1}{\sqrt{1-q^2}}+1\right)\\ -\dfrac{q}{2 \sqrt{1-q^2}} & \dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2 \sqrt{1-q^2}} \end{bmatrix} \end{aligned}[1−qq−1]DP=P−1DP=[−1−q21−q2]=⎣⎢⎢⎢⎢⎡21−q2q−21−q2q21(1−q21+1)21−21−q21⎦⎥⎥⎥⎥⎤$

设 $\begin{bmatrix}U\\V\end{bmatrix}=P\cdot \begin{bmatrix}A\\D\end{bmatrix}[UV]=P⋅[AD]，也即解方程$

$\begin{aligned} U' &= -x\sqrt{1-q^2} U\\ V' &= x\sqrt{1-q^2} V \end{aligned}U′V′=−x1−q2U=x1−q2V$

解为

$\begin{aligned} U &= C_1 \exp \left(-x\sqrt{1-q^2}t \right)\\ V &= C_2 \exp \left(x\sqrt{1-q^2}t \right) \end{aligned}UV=C1exp(−x1−q2t)=C2exp(x1−q2t)$

由 $P^{-1}\cdot \begin{bmatrix}U\\V\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\\D\end{bmatrix}P−1⋅[UV]=[AD]，可以回带得到$

$\begin{aligned} A &= \frac{\sqrt{1-q^2}-1}{q} \cdot C_1 \exp \left(-x\sqrt{1-q^2}t \right) -\frac{\sqrt{1-q^2}+1}{q} \cdot C_2 \exp \left(x\sqrt{1-q^2}t \right)\\ D &= C_1 \exp \left(-x\sqrt{1-q^2}t \right) + C_2 \exp \left(x\sqrt{1-q^2}t \right) \end{aligned}AD=q1−q2−1⋅C1exp(−x1−q2t)−q1−q2+1⋅C2exp(x1−q2t)=C1exp(−x1−q2t)+C2exp(x1−q2t)$

仿照新年的军队之手法，记 $\mathscr A = \int_0^1 A(t) \,\mathrm{d}tA=∫01A(t)dt 以及类似的定义 \mathscr DD。$

带入

$\begin{aligned} \frac{\sqrt{1-q^2}-1}{q} \cdot C_1 -\frac{\sqrt{1-q^2}+1}{q} \cdot C_2 &= 1\\ C_1 + C_2 &= x\cdot (q\mathscr A + \mathscr D) \end{aligned}q1−q2−1⋅C1−q1−q2+1⋅C2C1+C2=1=x⋅(qA+D)$

带入

$\begin{aligned} \frac{\sqrt{1-q^2}-1}{q} \cdot C_1 \exp \left(-x\sqrt{1-q^2} \right) -\frac{\sqrt{1-q^2}+1}{q} \cdot C_2 \exp \left(x\sqrt{1-q^2} \right) &= 1 + x\cdot(\mathscr A + q\mathscr D)\\ C_1 \exp \left(-x\sqrt{1-q^2} \right) + C_2 \exp \left(x\sqrt{1-q^2} \right) &= 0 \end{aligned}q1−q2−1⋅C1exp(−x1−q2)−q1−q2+1⋅C2exp(x1−q2)C1exp(−x1−q2)+C2exp(x1−q2)=1+x⋅(A+qD)=0解得（其中 r = \sqrt{1-q^2}r=1−q2）x(\mathscr{A} + \mathscr{D}) = \frac{\left({\mathrm{e}}^{rx}-1\right)\left(q+r+{\mathrm{e}}^{rx}+q{\mathrm{e}}^{rx}-r{\mathrm{e}}^{rx}+1\right)}{\left(q+1\right)\left(r-{\mathrm{e}}^{2rx}+r{\mathrm{e}}^{2rx}+1\right)}x(A+D)=(q+1)(r−e2rx+re2rx+1)\left[\frac{x^n}{n!} q^{K-1}\right]\frac{\left({\mathrm{e}}^{rx}-1\right)\left(q+r+{\mathrm{e}}^{rx}+q{\mathrm{e}}^{rx}-r{\mathrm{e}}^{rx}+1\right)}{\left(q+1\right)\left(r-{\mathrm{e}}^{2rx}+r{\mathrm{e}}^{2rx}+1\right)}\frac{\left({\mathrm{e}}^{rx}-1\right)\left(1+{\mathrm{e}}^{rx}+\frac{r(1-{\mathrm{e}}^{rx})}{1+q}\right)}{\left(1+\frac{r-1}{r+1}{\mathrm{e}}^{2rx}\right)} \cdot \frac 1{1+r}q^2 \mid r-1\lfloor K/2 \rfloor\begin{aligned} &\quad [x^n/n!]\frac{\left({\mathrm{e}}^{rx}-1\right)\left(1+{\mathrm{e}}^{rx}+\frac{r(1-{\mathrm{e}}^{rx})}{1+q}\right)}{\left(1+\frac{r-1}{r+1}{\mathrm{e}}^{2rx}\right)} \cdot \frac 1{1+r}\\ &= [x^n/n!] \sum_{k\ge 0} \left[\mathrm{e}^{2rx}-1 - \frac{r(\mathrm{e}^{rx}-1)^2}{1+q}\right] \cdot \frac{(r-1)^k}{(r+1)^{k+1}} \mathrm{e}^{2krx}\\ &= \sum_{k\ge 0} r^n \cdot \left[ (2k+2)^n - (2k)^n - \frac{r}{1+q} \cdot \left[(2k+2)^n - 2 (2k+1)^n + (2k)^n \right] \right] \cdot \frac{(r-1)^k}{(r+1)^{k+1}} \end{aligned}[q^{K-1}] r^n \frac{(r-1)^k}{(r+1)^{k+1}}[q^{K-1}] \frac{r^{n+1}}{1+q} \frac{(r-1)^k}{(r+1)^{k+1}}(erx−1)(q+r+erx+qerx−rerx+1)我们要求的就是[n!xnqK−1](q+1)(r−e2rx+re2rx+1)(erx−1)(q+r+erx+qerx−rerx+1)简单整理，变成(1+r+1r−1e2rx)(erx−1)(1+erx+1+qr(1−erx))⋅1+r1注意 q2∣r−1，因此下面只需展开前 ⌊K/2⌋ 项即可。[xn/n!](1+r+1r−1e2rx)(erx−1)(1+erx+1+qr(1−erx))⋅1+r1=[xn/n!]k≥0∑[e2rx−1−1+qr(erx−1)2]⋅(r+1)k+1(r−1)ke2krx=k≥0∑rn⋅[(2k+2)n−(2k)n−1+qr⋅[(2k+2)n−2(2k+1)n+(2k)n]]⋅(r+1)k+1(r−1)k由于幂是很难拆的，问题的关键就是计算出每个 [qK−1]rn(r+1)k+1(r−1)k 和 [qK−1]1+qrn+1(r+1)k+1(r−1)k。$

三句话让艾鸽为我推式子

我是一个很擅长让艾鸽为我推式子的精通人性的兰讲师。

前几天我和艾鸽拿枪对峙，结束之后，我直接问了一句：“哇塞，你今天好厉害，给你个机会做道题”。他哈哈（二声）大笑，一时半会儿呢，都没有回过神来。这种啦，就是典型的直男。

然后我坐下来继续问，我们玩个问答游戏吧，他说你问我答。我说，你知道做这道题的什么时候最帅吗？他说我不知道，所以直男很无趣，普通妹妹这个时候会说，你给出第一个 observation 的时候最帅。但是我说什么，你解微分方程，处理矩阵对角化，矩阵求逆，化简公式，展开分母，处理 Algebraic GF，给最后的数列算整式递推的时候最帅。他又是一份意想不到的狂喜，接下来的全程我什么也不用干……

发表于 2022-02-14 11:43 wangruidong03 阅读(93) 评论(1) 编辑收藏举报

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