递推与递归

一、递推

  • 1.递推：从已知道的若干项出发，利用递推关系依次推算出后面的未知项的方法，我们称为递推算法。

  • 2.递推实现：通过循环和数组的形式推出答案。

  • eg:阶乘计算：

    a[1] = 1;//初始值
for (int i = 2; i <= n; i++) {
a[i] = a[i - 1] * i;//递推求解
}

  • 斐波拉契数列：

    a[1] = a[2] = 1;//忘了就全错的初始值
for (int i = 3; i <= n; i++) {
a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];//还是递推求解
}

铺砖

题目描述

有2×n的一个长方形方格道路，只有一种1×2的砖去铺，总共有多少种铺法呢？

输入格式

一行，一个n(0≤n≤45)

输出格式

一行，一个数（总共有多少种铺法）

样例输入

3

样例输出

3

数据范围与提示

必须用递推，若没有道路，铺法可视为1种

解析

考虑递推，通过画图可得出递推式：a_i = a_{i + 1} + a_{i + 2}ai​=ai+1​+ai+2​

因为题目要求没有道路，铺法可视为1种，所以第0项为1。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[55];
int main() {
   int n;
   cin >> n;
   a[0] = 1;
   a[1] = 1;
   for (int i = 2; i <= n; i++) {
        a[i] = a[i - 1] + a[i - 2];
   } 
   cout << a[n];
   return 0;
}
好了，说了这么“多”，先总结一下

递推步骤：

  • ①读题，抓住关键词

  • ②找出递推式（最难也最重要的步骤）

  • ③寻找初始值（也很重要，千万不能忘）

  • ④写程序，调试

二、递归

1.递归：从已知问题的结果出发，用迭代表达式逐步推算出问题的开始的条件，即顺推法的逆过程，称为递归。简单来说，就是把一（多）个函数进行自调用的过程

2.递归实现：用函数的形式进行运算。

3.递推与递归的不同点：递归是从未知到已知逐步接近解决问题的过程，而递推从已知到未知。

  • 举个例子，我们听过的“从前有座山，山里有座庙……”可以用递归的形式来实现。
void f() {
    if (他们都累了||小和尚不想听故事了) {
        cout << "故事讲完了。";
        return;
    }
    cout << "从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚给小和尚讲故事:";
    f();
}
  • 一般的框架：
返回类型 f(自定义参数) {
    if (满足条件、到达出口) {
        更新/输出解；
        return;
    }
    维护自定义变量;
    f(自定义参数);
}

最大公约数

题目描述

用递归算法求两个数m和n的最大公约数。（m>0,n>0）

输入格式

两个数，即m和n的值。

输出格式

最大公约数。

样例输入

8 6

样例输出

gcd=2

解析

  • 最简单的方法是枚举两个数的约数，找出最大的公约数，但是可能会超时。
  • 考虑递归，需要借助辗转相除法。

参考代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int gcd(int x, int y) {
    if (y == 0) return x;
    return gcd(y, x % y);
}
int main() {
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    cout << "gcd=" << gcd(n, m);
    return 0;
}