倍增法与st
倍增法
一篇博客
最常用，也是最简单的算法，实质就是直接对暴力使用倍增优化将复杂度降低达到需求。有树上的倍增和区间的倍增
\(depth[]\)为每个节点的深度，\(fa[i][j]\),i节点的\(2^j\)的父亲。\(lg[i]=log_2{i}+1\)
const int maxn=5000001;
int depth[maxn],fa[maxn][22],lg[maxn];
vector<int >g[maxn];
void dfs(int now,int fath)//dfs初始化fa和depth，传入参数为根节点
{
fa[now][0]=fath;
depth[now]=depth[fath]+1;
for(int i=1;i<=lg[depth[now]];++i)
{
fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];//递推更新fa
}
for(int i=0;i<g[now].size();i++)//寻找子节点
{
if(g[now][i]!=fath)
dfs(g[now][i],now);
}
}
int lca(int x,int y)
{
if(depth[x]<depth[y])//使x的深度大于y的深度
{
swap(x,y);
}
while(depth[x]>depth[y])
{
x=fa[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1];//使两者深度相同
}
if(x==y)
return x;
for(int k=lg[depth[x]]-1;k>=0;--k)//树上倍增
{
if(fa[x][k]!=fa[y][k])
{
x=fa[x][k],y=fa[y][k];
}
}
return fa[x][0];
}
main(void)
{
int n,m,s;
cin>>n>>m>>s;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
}
dfs(s,0);
for(int i=1;i<=m;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
printf("%d\n",lca(x,y));
}
return 0;
}
题目
二叉树问题
统计树的深度、宽度、两个点之间的上行边数和下行边数
const int maxn=5000001;
int depth[maxn],fa[maxn][22],lg[maxn];
vector<int >g[maxn];
int ans1=0;
int ans2[20000]={0};
int ans22=0;
void dfs(int now,int fath)
{
fa[now][0]=fath;
depth[now]=depth[fath]+1;
ans1=max(ans1,depth[now]);
ans2[depth[now]]++;
ans22=max(ans22,ans2[depth[now]]);
for(int i=1;i<=lg[depth[now]];++i)
{
fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
}
for(int i=0;i<g[now].size();i++)
{
if(g[now][i]!=fath)
dfs(g[now][i],now);
}
}
int lca(int x,int y)
{
int ans=0;
int ans11=0;
int flag=0;
if(depth[x]<depth[y])
{
swap(x,y);
flag=1;
}
while(depth[x]>depth[y])
{
ans11+=1<<(lg[depth[x]-depth[y]]-1);
x=fa[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1];
}
if(x==y)
{
if(flag)
return ans11;
return 2*ans11;
}
for(int k=lg[depth[x]]-1;k>=0;--k)
{
if(fa[x][k]!=fa[y][k])
{
x=fa[x][k],y=fa[y][k];
ans+=1<<k;
ans11+=1<<k;
}
}
if(flag)
return (ans+1)*2+(ans11+1);
return (ans+1)+(ans11+1)*2;
}
main(void)
{
int n,m,s=1,u,v;
cin>>n;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
}
dfs(s,0);
cin>>u>>v;
printf("%d\n%d\n%d\n",ans1,ans22,lca(u,v));
return 0;
}
P2420 让我们异或吧
运用lca中的dfs，求得所有点到根的异或
const int maxn=5000001;
int depth[maxn],fa[maxn][22],lg[maxn];
vector<int >g[maxn];
int ans1=0;
int ans2[20000]={0};
int ans22=0;
void dfs(int now,int fath)
{
fa[now][0]=fath;
depth[now]=depth[fath]+1;
ans1=max(ans1,depth[now]);
ans2[depth[now]]++;
ans22=max(ans22,ans2[depth[now]]);
for(int i=1;i<=lg[depth[now]];++i)
{
fa[now][i]=fa[fa[now][i-1]][i-1];
}
for(int i=0;i<g[now].size();i++)
{
if(g[now][i]!=fath)
dfs(g[now][i],now);
}
}
int lca(int x,int y)
{
int ans=0;
int ans11=0;
int flag=0;
if(depth[x]<depth[y])
{
swap(x,y);
flag=1;
}
while(depth[x]>depth[y])
{
ans11+=1<<(lg[depth[x]-depth[y]]-1);
x=fa[x][lg[depth[x]-depth[y]]-1];
}
if(x==y)
{
if(flag)
return ans11;
return 2*ans11;
}
for(int k=lg[depth[x]]-1;k>=0;--k)
{
if(fa[x][k]!=fa[y][k])
{
x=fa[x][k],y=fa[y][k];
ans+=1<<k;
ans11+=1<<k;
}
}
if(flag)
return (ans+1)*2+(ans11+1);
return (ans+1)+(ans11+1)*2;
}
main(void)
{
int n,m,s=1,u,v;
cin>>n;
for(int i=1;i<n;i++)
{
int x,y;
scanf("%d%d",&x,&y);
g[x].push_back(y);
g[y].push_back(x);
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
lg[i]=lg[i-1]+(1<<lg[i-1]==i);
}
dfs(s,0);
cin>>u>>v;
printf("%d\n%d\n%d\n",ans1,ans22,lca(u,v));
return 0;
}
疫情控制
要求分配军队，运用了lca的dfs，得到每个点的祖先节点情况。
const int N=5e4+3;
ll sum,dis[N],dist[N];
int n,m,u,cnt,cont;
int am[N],lg[N],f[N][17],dp[N],vis[N],fre[N],b[N],pl[N],nee[N];
int tt,head[N],to[N<<1],nex[N<<1],w[N<<1];
vector<int>arv[N];
struct LCA{//直接套的lca模板
void pre(int g,int F){//预处理父亲;
for(int i=head[g],v;i;i=nex[i]){
v=to[i];
if(v==F)continue;
f[v][0]=g,dp[v]=dp[g]+1,dis[v]=dis[g]+(ll)w[i];
for(int j=1;j<=lg[dp[v]];++j)
f[v][j]=f[f[v][j-1]][j-1];
pre(v,g);
}
return ;
}
int get(int x,int y){
if(dp[x]>dp[y])swap(x,y);
for(int i=lg[dp[y]-dp[x]];i>=0;--i)
if(dp[f[y][i]]>=dp[x])y=f[y][i];
if(x==y)return x;
for(int i=lg[dp[x]];i>=0;--i)
if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
return f[x][0];
}
}lca;
inline void add(int x,int y,int W){
to[++tt]=y,nex[tt]=head[x],w[tt]=W,head[x]=tt;
return ;
}
inline bool dfs(int g,int F){
if(vis[g]&&!pl[g])return true;//若当前节点不是根节点的子节点,且有标记,说明当前子树已全部被标记;
bool flag=0;
for(int i=head[g],v;i;i=nex[i]){
v=to[i];
if(v==F)continue;
if(!dfs(v,g))return false;//有一个叶子节点未被标记就需要加入need集合;
flag=1;
}
return flag;
}
inline bool check(ll mid){
for(int i=1;i<=cnt;++i)arv[i].clear();
memset(vis,0,sizeof vis);
for(int i=1;i<=m;++i){
int y=am[i];
dist[i]=0;
for(int j=dp[y];j>=0;--j)//;将其向父亲跳
if(f[y][j]>1&&dist[i]+dis[y]-dis[f[y][j]]<=mid){
dist[i]+=dis[y]-dis[f[y][j]];
y=f[y][j];
}
vis[y]=1;//将当前节点标记;
int j=pl[y];//找到对应的根节点的子节点的编号;
if(j){
arv[j].push_back(mid-dist[i]);//将剩余距离加入第j个子节点;
if(arv[j].size()>1&&arv[j][arv[j].size()-2]<arv[j][arv[j].size()-1])
swap(arv[j][arv[j].size()-2],arv[j][arv[j].size()-1]);//将剩余距离最短的点放到尾部;
}
}
int cnt1=0,cnt2=0;
for(int i=1;i<=cnt;++i){
if(!dfs(to[b[i]],1)){//判定是否需要军队驻扎;
if(arv[i].size()&&arv[i][arv[i].size()-1]<w[b[i]]*2)
arv[i].pop_back();//若当前点存在无法先到达根节点,再返回当前点的的军队,就将其军队用来驻扎当前点;
else nee[++cnt1]=w[b[i]];//否则将当前点加入need集合;
}
for(int j=0;j<arv[i].size();++j)
if(arv[i][j]>=w[b[i]])
fre[++cnt2]=arv[i][j]-w[b[i]];//将符合条件的军队加入free集合;
}
if(cnt1>cnt2)return false;//如果军队数小于节点数,就无法完全覆盖;
sort(nee+1,nee+1+cnt1);
sort(fre+1,fre+1+cnt2);//排序;
while(cnt1){//反向比较;
if(fre[cnt2]<nee[cnt1])return false;//若当前点无法被当前军队覆盖,那么在他之后的军队也无法将其覆盖;
--cnt2,--cnt1;
}
return true;//将节点完全覆盖;
}
inline ll solve(){
ll l=0,r=sum+1;
while(l<r){
ll mid=l+r>>1;
if(check(mid))r=mid;
else l=mid+1;
}
return l;
}
int main(){
cin>>n;
lg[0]=-1;
for(int i=1;i<=n;++i)lg[i]=lg[i>>1]+1;//初始化lg数组;
int x,y,W;
for(int i=1;i<n;++i)cin>>x>>y>>W,add(x,y,W),add(y,x,W),sum+=W;
for(int i=head[1],v;i;i=nex[i])v=to[i],b[++cnt]=i,pl[v]=cnt;//b记录根节点的第cnt条边,pl记录节点对应第几条边;
cin>>m;
lca.pre(1,0);
for(int i=1;i<=m;++i)cin>>x,am[i]=x;
if(m<cnt)puts("-1");//若军队数小于根节点的子节点数,则一定无法完全覆盖;
else cout<<solve()<<'\n';//否则一定可以完全覆盖;
return 0;
}
P3865 【模板】ST表
求区间最值
传送门
const int maxn=100005;
int a,n;
int f[maxn][22];
inline int read()
{
char c=getchar();int x=0,f=1;
while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0';c=getchar();}
return x*f;
}
struct ST
{
void init()
{
_1for(i,n)
{
scanf("%d",&f[i][0]);
}
for(int j=1;j<=21;j++)
{
for(int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
{
f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
}
}
}
int check(int l,int r)
{
int k=log2(r-l+1);
return max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);
}
};
main(void)
{
int m;
n=read();
m=read();
ST P;
P.init();
_1for(i,m)
{
int l,r;
l=read();
r=read();
printf("%d\n",P.check(l,r));
}
}
