最长递增子序列和双序列

1. 给定一个长度为N的数组，找出一个最长的单调自增子序列（不一定连续，但是顺序不能乱）。
2. 从一列数中筛除尽可能少的数使得从左往右看，这些数是从小到大再从大到小的（网易）。

1、思路：

　　定义L(i)：以ai为最后一个元素的最长子序列的长度。当i=1或ai<min{a1,a2,...,a(i-1)}时，L(i)=1; 当1≤j≤i-1且aj<ai时，L(i)=max{L(j)}+1。时间复杂度O(n²)。

#include <iostream>
using namespace std;
#define len(a) (sizeof(a) / sizeof(a[0])) //数组长度
int lis(int arr[], int len)
{
    int longest[len];
    for (int i=0; i<len; i++)
        longest[i] = 1;

    for (int j=1; j<len; j++) {
        for (int i=0; i<j; i++) {
            if (arr[j]>arr[i] && longest[j]<longest[i]+1){ //注意longest[j]<longest[i]+1这个条件，不能省略。
                longest[j] = longest[i] + 1; //计算以arr[j]结尾的序列的最长递增子序列长度
            }
        }
    }

    int max = 0;
    for (int j=0; j<len; j++) {
        cout << "longest[" << j << "]=" << longest[j] << endl;
        if (longest[j] > max) max = longest[j];  //从longest[j]中找出最大值
    }
    return max;
}

int main()
{
    int arr[] = {1, 4, 5, 6, 2, 3, 8}; //测试数组
    int ret = lis(arr, len(arr));
    cout << "max increment substring len=" << ret << endl;
    return 0;
}

  　或者定义：B[i]来标记长度为i的增序列的最小数字是多少，遍历原数组对每一个数字插入到B[i]中的合适位置，并记录当前最长len。时间复杂度O(nlogn)。

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>

#define N 9 //数组元素个数
int array[N] = {2, 1, 6, 3, 5, 4, 8, 7, 9}; //原数组
int B[N]; //在动态规划中使用的数组,用于记录中间结果,其含义三言两语说不清,请参见博文的解释
int len; //用于标示B数组中的元素个数

int LIS(int *array, int n); //计算最长递增子序列的长度,计算B数组的元素,array[]循环完一遍后,B的长度len即为所求
int BiSearch(int *b, int len, int w); //做了修改的二分搜索算法

int main()
{
    printf("LIS: %d\n", LIS(array, N));

    int i;
    for(i=0; i<len; ++i)
    {
        printf("B[%d]=%d\n", i, B[i]);
    }

    return 0;
}

int LIS(int *array, int n)
{
    len = 1;
    B[0] = array[0];
    int i, pos = 0;

    for(i=1; i<n; ++i)
    {
        if(array[i] > B[len-1]) //如果大于B中最大的元素，则直接插入到B数组末尾
        {
            B[len] = array[i];
            ++len;
        }
        else
        {
            pos = BiSearch(B, len, array[i]); //二分查找需要插入的位置
            B[pos] = array[i];
        }
    }

    return len;
}

//修改的二分查找算法，返回数组元素需要插入的位置。
int BiSearch(int *b, int len, int w)
{
    int left = 0, right = len - 1;
    int mid;
    while (left <= right)
    {
        mid = left + (right-left)/2;
        if (b[mid] > w)
            right = mid - 1;
        else if (b[mid] < w)
            left = mid + 1;
        else    //找到了该元素，则直接返回
            return mid;
    }
    return left;//数组b中不存在该元素，则返回该元素应该插入的位置
}