「杂题乱刷2」P11830 [省选联考 2025] 幸运数字

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P11830 [省选联考 2025] 幸运数字

解题思路

40pts

考虑直接暴力 check 每个数字 $x$ 是否能被取到。

有以下贪心方式：

• 如果根本不可能取到至少一个数字 $x$，则 $x$ 不能被取到。

• 若对于一个可取数字区间有 $l2\le x\le r2$，则必然取数字 $x$，取的数字数量为 $r1$。

• 否则，则有 $x<l2$ 或 $r2<x$，此时我们容易求得 $[1,x-1]$ 的数字个数取值区间 $[s1,s2]$，$[x+1,{10}^9]$ 的数字个数取值区间 $[s3,s4]$。然后我们分讨以下情况：

  • $s1\le s3\le s2$ 或 $s3\le s1\le s4$，此时前后两区间长度可以相交，那么使得两区间长度一致那么数字 $x$ 就可以被取到，因此此情况 $x$ 可以被取到。

  • 否则，我们分讨以下两种情况。

    • 若 $s2<s3$，那么此时前面取 $s2$ 个数字，后面取 $s3$ 个数字显然最优，算出此时中位数是否为 $x$ 即可。
    • 否则一定有 $s4<s1$，那么此时前面取 $s1$ 个数字，后面取 $s4$ 个数字显然最优，算出此时中位数是否为 $x$ 即可。

那么这样 check 一次是 $O(n)$ 的。

考虑去暴力做特殊性质 A 的 $n$ 个数字，依次 check，可以获得 $40$ 分。

总时间复杂度 $O(n^2)$。

60pts

特殊性质 A 做法。

依然考虑上述 check 方式，你发现根据 $x$ 的递增性，每个数字区间 $[l2,r2]$ 只会给 $s1,s2,s3,s4$ 带来连续一段区间的贡献，那么直接差分后进行一次前缀和即可。

总时间复杂度 $O(n)$。

80pts

经过惊人的注意力（打表）可以发现，我们可以将 $l2,r2$ 离散化，此时就会有 $2n$ 个点，发现若一个点是合法的，则这个点往左有一段连续的区间也是合法的，此时直接二分即可，时间复杂度 $O(n^2{\log }^{2}n)$，可以获得 $80$ 分。

100pts

考虑优化 80pts 做法，那么你发现我们可以直接将原本需要暴力做的区间离散化，由于需要差分加减的点只有 $2n$ 个，那么直接离散化这些差分端点，二分即可查找到准确前缀和之后的值，那么一次 check 复杂度就被降到了 $O(\log n)$，总时间复杂度 $O(n{\log }^{2}n)$，可以通过此题。

参考代码

等代码公示后放。