「杂题乱刷2」CF601B

合集 - 二分(23)

1.「杂题乱刷」AT_abc020_c2023-12-292.「杂题乱刷」CF1846E1 & CF1846E22024-03-053.「杂题乱刷」CF786C2024-04-124.「杂题乱刷」Zheng Rui 327 【2018普转提day17专题】洗2024-05-145.「杂题乱刷」CF1759F2024-05-236.「杂题乱刷」CF1979C2024-06-077.「杂题乱刷」CF1985F2024-06-138.「杂题乱刷」P13962024-06-169.「杂题乱刷」AT_abc360_d2024-07-0210.「杂题乱刷2」CF1454F Array Partition2024-07-0511.「杂题乱刷2」CF1996F2024-07-2712.「杂题乱刷2」CF1486C1 & CF1486C22024-08-0713.「杂题乱刷2」CF1360H2024-08-2514.「杂题乱刷2」CF862D2024-08-2915.「杂题乱刷2」CF1301C2024-09-0616.「杂题乱刷2」CF2036G2024-11-0417.「杂题乱刷2」P112672024-11-0918.「杂题乱刷2」CF1370F22024-11-1019.「杂题乱刷2」AT_abc140_e2024-12-13

20.「杂题乱刷2」CF601B01-28

21.「杂题乱刷2」CF2069D03-0322.「杂题乱刷2」P11830 [省选联考 2025] 幸运数字03-0323.「杂题乱刷2」P11843 [USACO25FEB] The Best Subsequence G03-03

收起

怎么没人写好写的 ST 表呢。

题目链接

CF601B Lipshitz Sequence (luogu)

CF601B Lipshitz Sequence (codeforces)

解题思路

其实一眼可以发现选相邻的是最优的。

证明：

若这个区间中的数字为 $[a,b,c]$，此时若选择 $a,c$ 这两个数字，则必有 $\frac{|a-c|}{2}\ge |a-b|$，$\frac{|a-c|}{2}\ge |b-c|$，两式相加得 $|a-c|\ge |a-b|+|b-c|$，此时分讨三个数的大小关系：

• $a\le b\le c$，此时式子为 $c-a\ge b-a+c-b$，化简得 $0\ge 0$，说明此时选相邻两个数与选 $a,c$ 两个数相比不劣。

• $a\le c\le b$，此时式子为 $c-a\ge b-a+b-c$，化简得 $2c\ge 2b$，由于 $c\le b$，因此 $2c\le b$，不符合原命题，说明此时选相邻两个数与选 $a,c$ 两个数相比不劣。

• $b\le a\le c$，此时式子为 $c-a\ge a-b+c-b$，化简得 $2b\ge 2a$，由于 $b\le a$，因此 $2b\le 2a$，不符合原命题，说明此时选相邻两个数与选 $a,c$ 两个数相比不劣。

• $b\le c\le a$，此时式子为 $a-c\ge a-b+c-b$，化简得 $2b\ge 2c$，由于 $b\le c$，因此 $2b\le 2c$，不符合原命题，说明此时选相邻两个数与选 $a,c$ 两个数相比不劣。

• $c\le a\le b$，此时式子为 $a-c\ge b-a+b-c$，化简得 $2a\ge 2b$，由于 $a\le b$，因此 $2a\le 2b$，不符合原命题，说明此时选相邻两个数与选 $a,c$ 两个数相比不劣。

• $c\le b\le a$，此时式子为 $a-c\ge a-b+b-c$，化简得 $0\ge 0$，说明此时选相邻两个数与选 $a,c$ 两个数相比不劣。

因此选相邻两个数字一定不劣，此时设 $i\in [1,n-1]$，$b_i=|a_i-a_{i+1}|$，则答案为 $\sum _{i=l}^{r-1}\sum _{j=i}^{r-1}\underset{k=i}{\overset{j}{max}}{b}_k$。

这是一个经典的问题，直接 ST 表加二分即可，注意此时需要预处理每个 $L,R$ 的节点，这样复杂度是 $O(n\log n+nq)$ 的，不会 TLE，否则直接做是 $O(qn\log n)$ 的，会 TLE。

直接单调栈也能做，我写的是 ST 表。

参考代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define re register
#define ll int
#define forl(i,a,b) for(re ll (i)=(a);i<=(b);(i)++)
#define forr(i,a,b) for(re ll (i)=(a);i>=(b);(i)--)
#define IOS ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0),cout.tie(0);
#define QwQ return 0;
ll pw(ll x){return 1ll<<x;}
ll _t_;
ll lg[1000110];
void Init(){
    forl(i,2,1e6+5)
        lg[i]=lg[i>>1]+1;
}
ll n,q;
ll a[100010];
ll b[100010];
ll l,r;
ll maxn[100010][20];
ll nL[100010],nR[100010];
ll query(ll l,ll r)
{
    if(l>r)
        return (ll)2e9;
    ll LG=lg[r-l+1];
    return max(maxn[l][LG],maxn[r-pw(LG)+1][LG]);
}
long long ans;
void _clear(){}
void solve()
{
    _clear();
    cin>>n>>q;
    forl(i,1,n)
        cin>>a[i];
    forl(i,1,n-1)
        b[i]=abs(a[i+1]-a[i]),
        maxn[i][0]=b[i];
    n--;
    forl(j,1,19)
        forl(i,1,n-pw(j)+1)
            maxn[i][j]=max(maxn[i][j-1],maxn[i+pw(j-1)][j-1]);
    l=1,r=n;
    ans=0;
    forl(i,l,r)
    {
        ll L=l,R=i;
        while(L<R)
        {
            ll Mid=(L+R)/2;
            if(query(Mid,i-1)<b[i])
                R=Mid;
            else
                L=Mid+1;
        }
        ll nl=L;
        L=i,R=r;
        while(L<R)
        {
            ll Mid=(L+R+1)/2;
            if(query(i+1,Mid)<=b[i])
                L=Mid;
            else
                R=Mid-1;
        }
        ll nr=L;
        if(query(nl,i)==b[i] && query(i,nr)==b[i])
            nL[i]=nl,
            nR[i]=nr;
        else
            nL[i]=nR[i]=i;
    }
    while(q--)
    {
        cin>>l>>r;
        r--;
        forl(i,l,r)
        {
            ll nl=max(nL[i],l),nr=min(nR[i],r);
            ans+=1ll*b[i]*(i-nl+1)*(nr-i+1);
        }
        cout<<ans<<endl;
        ans=0;
    }
}
int main()
{
	Init();
    IOS;
    _t_=1;
    while(_t_--)
        solve();
    QwQ;
}