(转)平衡树
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平衡树
二叉树
左子树都小于根节点,右子树都大于根节点。可以动态维护这棵树(因为是树结构,可以有限步完成插入),所以是动态查找算法。时间复杂度为O(logn)在46.5%的情况下,需要把二叉树平衡化成“平衡二叉树”。
平衡二叉树
平衡二叉树(Balanced binary tree)是由阿德尔森-维尔斯和兰迪斯(Adelson-Velskii and Landis)于1962年首先提出的,所以又称为AVL树。
定义:平衡二叉树或为空树,或为如下性质的二叉排序树:
(1)左右子树深度之差的绝对值不超过1;
(2)左右子树仍然为平衡二叉树.
平衡因子
平衡因子bf=左子树深度-右子树深度,每个结点的平衡因子只能是1,0,-1。若其绝对值超过1,则该二叉排序树就是不平衡的。增加一个元素后,平衡二叉树有可能变成不平衡了,所以需要旋转平衡调整。如图所示为平衡树和非平衡树示意图:
平衡二叉树算法思想
若向平衡二叉树中插入一个新结点后破坏了平衡二叉树的平衡性。首先要找出插入新结点后失去平衡的最小子树根结点的指针。然后再调整这个子树中有关结点之间的链接关系,使之成为新的平衡子树。当失去平衡的最小子树被调整为平衡子树后,原有其他所有不平衡子树无需调整,整个二叉排序树就又成为一棵平衡二叉树。失去平衡的最小子树是指以离插入结点最近,且平衡因子绝对值大于1的结点作为根的子树。假设用A表示失去平衡的最小子树的根结点,则调整该子树的操作可归纳为下列四种情况。
(1)LL型平衡旋转法
由于在A的左孩子B的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行一次顺时针旋转操作。即将A的左孩子B向右上旋转代替A作为根结点,A向右下旋转成为B的右子树的根结点。而原来B的右子树则变成A的左子树。
(2)RR型平衡旋转法
由于在A的右孩子C 的右子树上插入结点F,使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行一次逆时针旋转操作。即将A的右孩子C向左上旋转代替A作为根结点,A向左下旋转成为C的左子树的根结点。而原来C的左子树则变成A的右子树。
![](http://hiphotos.baidu.com/dongaxis/pic/item/254a48218493cdd14723e8cb.jpg)
(3)LR型平衡旋转法
由于在A的左孩子B的右子数上插入结点F,使A的平衡因子由1增至2而失去平衡。故需进行两次旋转操作(先逆时针,后顺时针)。即先将A结点的左孩子B的右子树的根结点D向左上旋转提升到B结点的位置,然后再把该D结点向右上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为LL型,再按LL型处理。
如图中所示,即先将圆圈部分先调整为平衡树,然后将其以根结点接到A的左子树上,此时成为LL型,再按LL型处理成平衡型。
(4)RL型平衡旋转法
由于在A的右孩子C的左子树上插入结点F,使A的平衡因子由-1减至-2而失去平衡。故需进行两次旋转操作(先顺时针,后逆时针),即先将A结点的右孩子C的左子
树的根结点D向右上旋转提升到C结点的位置,然后再把该D结点向左上旋转提升到A结点的位置。即先使之成为RR型,再按RR型处理。
如图中所示,即先将圆圈部分先调整为平衡树,然后将其以根结点接到A的左子树上,此时成为RR型,再按RR型处理成平衡型。
平衡化靠的是旋转。参与旋转的是3个节点(其中一个可能是外部节点NULL),旋转就是把这3个节点转个位置。注意的是,左旋的时候p->right一定不为空,右旋的时候p->left一定不为空,这是显而易见的。
如果从空树开始建立,并时刻保持平衡,那么不平衡只会发生在插入删除操作上,而不平衡的标志就是出现bf == 2或者 bf == -2的节点。
插入和删除
插入删除是互为镜像的操作。我们可以采用前面对二叉排序树的删除操作来进行。然后,在删除掉结点后,再对平衡树进行平衡化处理。删除之所以删除操作需要的平衡化可能比插入时次数多,就是因为平衡化不会增加子树的高度,但是可能会减少子树的高度,在有有可能使树增高的插入操作中,一次平衡化能抵消掉增高;在有可能使树减低的删除操作中,平衡化可能会带来祖先节点的不平衡。AVL树体现了一种平衡的美感,两种旋转是互为镜像的,插入删除是互为镜像的操作,没理由会有那么大的差别。实际上,平衡化可以统一的这样来操作:
1、while (current != NULL)修改current的平衡因子。
(1)插入节点时current->bf += (current->data > *p)?1:-1;
(2)删除节点时current->bf -= (current->data > *p)?1:-1;
(3)current指向插入节点或者实际删除节点的父节点,这是普通二叉搜索树的插入和删除操作带来的结果。*p初始值是插入节点或者实际删除节点的data。因为删除操作可能实际删除的不是data。
2、判断是否需要平衡化
if (current->bf == -2) L_Balance(c_root);
else if (current->bf == 2) R_Balance(c_root);
3、是否要继续向上修改父节点的平衡因子
(1)插入节点时if (!current->bf) break;这时,以current为根的子树的高度和插入前的高度相同。
(2)删除节点时if (current->bf) break;这时,以current为根的子树的高度和删除前的高度相同
4、当前节点移动到父节点,转1。
p = &(current->data); current =current->parent;