算法岗，一共两道编程题，题目具体如下：
第一题：
# 给你A数组，询问ΣΣA[gcd(i,j)],1<=i<=n,1<=j<=m
# 输入:
# 每行有四个整数，N,n,m,p,其中N表示A数组长度,n,m,p为参数;对于A数组如下得出：
#
# A[1]=p,A[x]=(A[x-1]+153)%p
#
# 数据范围
#
# 小数据 n,m<=N<=1000,p<=1000
#
# 大数据 n,m<=N<=100000,p<=100000
#其中gcd(i,j)表示i和j最大公约。
代码如下：
#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b)
{
if(a < b)
return gcd(b,a);
return b == 0 ? a : (b,a % b);
}
int getRs(int A[], int n, int m)
{
int rs = 0;
for(int i = 1; i <=n ; i++)
for(int j = 1; j <=m; j++)
rs += A[gcd(i,j)];
return rs;
}
int main()
{
int A[100001];
int N,n,m,p;
cin>>N>>n>>m>>p;
A[1] = p;
for(int i = 2; i <= N; i++)
A[i] = (A[i - 1] + 153) % p;
cout<<getRs(A,n,m)<<endl;
}
这样做，只能AC百分之60，当把rs由int改为long long的时候，就可以AC百分之90了，剩下的数据还是超时。试着从最大公约数的函数进行优化，但是没用。估计应该从getRs函数中的那叠加两个循环进行优化，可以看得出来，对于两个数a和b，i = a && j = b的gcd(i,j)和
j = a && i = b的gcd(i,j)的结果是相同的，也就是说这两个叠加循环中，实际上已有一半是重复计算的，但如果存储所有组合的gcd的话，内存会溢出。谁有好的思路，可以介绍下！
第二题：
# 小明在探寻数学的奥秘，她现在想知道n以内的正整数一共有多少位数字。不统计前导零。
# 例如：n为13时，12345678910111213，共17位，则输出为17。
# 输入：第一行一个数T(T<=100)，表示数据组数。
# 对于每组数据，第一行1个整数n (1 <= n <= 10^9)
# 对于每组数据，输出一行，表示数字位数和
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对于这道题，我用了四种方法，前三种都超时。
方法1：直接从i到n循环，判断每个数字的位数，求位数的方式如下：
int cnt = 0;
while(n)
{
cnt++;
n /= 10;
}
方法2：直接从1到n循环，并把每个数字转换成string，然后用size()方法求其长度，大体如下：
int cnt = 0;
while(n)
{
cnt++;
n /= 10;
}
方法3：由方法2得到的启示，直接把每个数字变成一个子串string，最后把这些子串合并成一个大的string，结果就是该string的size()，大致如下：
int fun(int num)
{
string str;
for(int i = 1; i <= num; i++)
str += to_string(i);
return str.size();
}
但仔细一想，与方法2区别并不大，本质一样的哇。
方法4：
看来直接这么求是不行的，那么只能进行找规律了。仔细分析题目，可以找到这么一个规律：
令f(n)表示数字num长度为n时，从1到n位数组成的最大数字(如n=3时，最大数字是999)，构成的数字位数和。那么：
n = 0时，f(0) = 0
n = 1时[1 ~ 9]， f(1) = 9
n = 2时[1 ~9,10 ~ 99]，f(2) =(99 - 9) * 2 + 9 = (10^2 - 1 - 9) * 2 + f(1) = 189
n = 3时,[1 ~99,100 ~ 999]，f(3) = (999 -99 )* 3 + 189 = (10 ^ 3 -1 -99 )* 3 + f(2)
...
当 n = 9时，f(9) =[10 ^ 9 - (10 ^ 8 - 1)] * 9 + f(8)
所以对于一个长度为n的数num，它的数字位数和 = f(n- 1) + [num - 10 ^(n - 1) + 1] * n,其中后半部分表示的是num与n-1位数的最大数字相差的数字个数。例如456可以分为两部分，1 ~ 99和 100 ~ 456,并且100 ~456的位数和为(456 - 100 +1) * 3.(加1是包括456本身)
代码如下：
#include<iostream>
#include<unordered_map>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<sstream>
using namespace std;
long long getRs(long long f[],int num)
{
int len = to_string(num).size();
return f[len - 1] + (num - pow(10 , len - 1) + 1) * len;
}
int main()
{
long long f[10] = {0,9,189,2889,38889,488889,5888889,68888889,788888889,8888888889};
int n;
int num;
cin>>n;
while(n--)
{
cin>>num;
cout<<getRs(f,num)<<endl;
}
}
该方法的时间复杂度为O(1)，绝不会超时的！我此处先实现计算出了每个f(n)对应的值，也可以不用实现计算出f(n)的值，根据公式迭代计算也是可以的。
注：返回结果应为long long(此处最好不要去使用long，因为在32为机器中long的表示范围和int是一样的，而long long不论在32位机器还是64位机器中，都占8个字节，所以没毛病！)
从这些题目中，可以得到一个很重要的结论：在做题前，一定要弄清楚单纯的int型 ，是否能够满足题目要求，取样例的极限值看看是否int会溢出，这是非常重要的一点！！！此外，造成溢出的值不一定是指变量，也可能包括函数的返回值，一定要考虑周全，方能AC！！！(JD的笔试题目中也有体现出这一点)
