关于排列数和组合数的一些性质

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  排列数
  组合数

排列数

从 $n$ 个不同元素种取出 $m(m\le n)$ 个元素的所有不同排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素种取出 $m$ 个元素的排列数，用符号 $A_n^m$ 表示。

排列数的一些性质

1. $$A_n^m=\frac{n!}{(n-m)!}$$

2. $$nA_{n-1}^{m-1}=\frac{(n-1)!\cdot n}{(n-1-m+1)!}\\=\frac{n!}{(n-m)!}\\=A_n^m$$

3. $$mA_{n-1}^{m-1}+A_{n-1}^m=\frac{m(n-1)!}{(n-m)!}+\frac{(n-1)!}{(n-m-1)!}\\=\frac{m(n-1)!+(n-m)(n-1)!}{(n-m)!}\\=\frac{n!}{(n-m)!}\\=A_n^m$$

组合数

从 $n$ 个不同元素种取出 $m(m\le n)$ 个元素的所有不同组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素种取出 $m$ 个元素的组合数，用符号$C^m_n$ 表示。

组合数的一些性质

1. $$C_n^m=\frac{n!}{(n-m)!m!}$$

2. $$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}\ \ \texttt{可以用动态规划的思想理解}$$

3. $$C_n^m=C_m^{n-m}$$

4. $$\sum_{i=0}^mC_{n+i}^i=C_m^0+C_{m+1}^1+C_{m+2}^2+...+C_{m+r}^r\\=C_m^1+C_{m+1}^1+C_{m+2}^2+...+C_{m+r}^r\\=C_{m+2}^1+C_{m+2}^2+...+C_{m+r}^r\\=C_{m+r+1}^r$$

5. $$\texttt{设} S_{n}^m=\sum_{i=0}^mC_n^i,\texttt{则}\\S_n^{m+1}=S_n^m+C_n^{m+1}\\S_{n+1}^m=C_{n + 1}^0 + C_{n + 1}^1 + C_{n + 1}^ 2 + \cdots + C_{n + 1}^m\\=C_{n}^0 + (C_n^0 + C_n^1) + (C_n^1 + C_n^2) + \cdots + (C_n^{m-1} + C_n^m)\\=2S_n^m-C_n^m\\ \texttt{所以如果我们要求多个组合数的前缀和，我们可以类似于莫队的双指针的方式求}$$

6. $$(x+y)^n=\sum_{i=0}^n C_n^ix^iy^{n-i}$$

7. $$\sum_{i=0}^nC_n^i x^i=\sum_{i=0}^n1^{n-i}C_n^i x^i=(1+x)^n$$

8. $$\sum_{i=0}^n C_{n}^i=\sum_{i=0}^n 1^i\times 1^{n-i}C_{n}^i=(1+1)^n=2^n$$

9. $$\sum_{i=0}^n (-1)^iC_n^i=\sum_{i=0}^n 1^{n-i}(-1)^iC_n^i=(1+(-1))^n=0$$

10. $$C_{m+n}^n=\sum_{i=0}^{n}C_n^iC_m^i$$

11. $$C_n^m=\frac n m C_{m-1}^{n-1}$$

12. $$\sum_{i=1}^n C_n^i\cdot i=\sum_{i=1}^n \frac{n!}{(i-1)!(n-i)!}\\=n\sum_{i=1}^n \frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}\\=n\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^i\\=n2^{n-1}$$

13. $$\sum_{i=1}^nC_n^ii^2=n\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^i(i+1)\\=n(\sum_{i=0}^{n-1} C_{n-1}^ii+\sum_{i=0}^{n-1}C_{n-1}^i)\\=n((n-1)2^{n-2}+2^{n-1})=n(n+1)2^{n-2}$$

14. $$\sum_{i=0}^n(C_n^i)^2=\sum_{i=0}^nC_n^iC_{n}^{n-i}=C_{2n}^n$$

15. $$f(n)=\sum_{i=0}^n (-1)^iC_n^ig(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n (-1)^iC_n^if(i)$$

16. $$f(n)=\sum_{i=0}^nC_n^ig(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}f(i)$$

17. $$f(n)=\sum_{i=n}^mC_i^ng(i)\Leftrightarrow g(n)=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}C_i^nf(i)$$

作者：蒟蒻wjr
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