CF261B Maxim and Restaurant
\[preface
\]
背包DP+期望的一道题
\[description
\]
题目翻译有QwQ
\[solution
\]
我们要分两种情况讨论：
-
\[\sum_{i=1}^{n}a[i]\leq p \]
-
\[\sum_{i=1}^{n}a[i]> p \]
对于情况\(1\)，显然就是n个人都可以坐，那么直接输出\(n\)即可。
对于情况\(2\)，
设\(f(i,j,k)\)表示表示已经处理完前i个人选了j个人占了k这么长的方案数，那么答案显然是：
\[ans=\dfrac{\sum f(n,i,j)\times i!\times (n-i)!}{n!}
\]
对于\(f(i,j,k)\)我们有两个策略，一个是选，一个是不选，得出：
\[f(i,j,k)=f(i-1,j-1,k-a[i])+f(i-1,j,k)
\]
我们发现DP可以省掉一维
\[code
\]
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define re register
using namespace std;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
x=0;
char s=(char)getchar();
bool f=false;
while(!(s>='0'&&s<='9'))
{
if(s=='-')
f=true;
s=(char)getchar();
}
while(s>='0'&&s<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0';
s=(char)getchar();
}
if(f)
x=(~x)+1;
}
const int N=55;
int n,p,a[N],sum;
long long dp[N][N];
double fac[N]= {1.0},ans;
int main()
{
read(n);
for(re int i=1; i<=n; ++i)
{
read(a[i]);
sum+=a[i];
fac[i]=fac[i-1]*i;
}
read(p);
if(sum<=p)
{
printf("%lf\n",(double)n);
return 0;
}
dp[0][0]=1;
for(re int i=1; i<=n; ++i)
for(re int j=i; j>=1; --j)
for(re int k=p; k>=a[i]; --k)
dp[j][k]+=dp[j-1][k-a[i]];
for(re int i=1; i<=n; ++i)
{
for(re int j=0; j<=p; ++j)
printf("%lld ",dp[i][j]);
putchar('\n');
}
for(re int i=1; i<=n; ++i)
for(re int j=0; j<=p; ++j)
ans+=(double)dp[i][j]*fac[i]*fac[n-i];
printf("%lf\n",ans/fac[n]);
return 0;
}
