CF1295D Same GCDs

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题目链接：CF1295D Same GCDs

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$$description$$

给定$a,m$，求出有多少个$x$满足$0\leq x<m$且

$$gcd(a,m)=gcd(a+x,m)$$

$gcd(x,y)$表示$x$和$y$的最大公因数

$$solution$$

数论题

考虑设$d=gcd(a,m)$

肯定满足$d|a,d|m,d|(a+x)$

$\therefore d|x$

结论1：

$$gcd(\frac{a+x}{d},\frac{m}{d})=1$$

证明：

假设$gcd(\frac{a+x}{d},\frac{m}{d})\neq 1$

即$gcd(\frac{a+x}{d},\frac{m}{d})> 1$

此时

$$gcd(a+x,m)=gcd(\frac{a+x}{d}\times d,\frac{m}{d}\times d)>d$$

即$gcd(a+x,m)\neq gcd(a,m)$

互相矛盾

综上所述：$gcd(\frac{a+x}{d},\frac{m}{d})=1$成立

结论2：

答案是

$$\varphi(\frac{m}{d})$$

显然对与任意与m互质的数$p$和任意正整数$k$
满足：

$$gcd(p+\frac {km}{d},\frac{m}{d})=gcd((p+k\frac{m}{d})\ mod\ \frac{m}{d},\frac{m}{d})=gcd(p,\frac{m}{d})=1$$

显然$p+\frac {km}{d}$与$\frac{m}{d}$互质

对于当$a+x\leq m$，答案是$\frac{a}{d}\leq x\leq \frac{m}{d}$的与$\frac{m}{d}$互质的个数

对于与$m<a+x<a+m$，答案是$x<\frac{a}{d}$的与$\frac{m}{d}$互质的个数

两个答案区间合并即是$\varphi(\frac{m}{d})$

欧拉函数:

其中$p_1, p_2……p_k$为$n$的所有质因数，$n$是不为$0$的整数。$\varphi(1)=1$（唯一和$1$互质的数就是$1$本身）。

$$\varphi(n)=n\prod _ {i=1}^{k}(1-\frac{1}{p_i})$$

因为n最多有一个大于$\sqrt{n}$的质因数

所以可以得到以下代码

inline long long Eular(long long n)
{
	long long ans=n;
	for(re int i=2; 1ll*i*i<= n; i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans-=ans/i;
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
	}
	if(n>1)
		ans-=ans/n;
	return ans;
}

欧拉函数复杂度$O(\sqrt n)$

算法总复杂度$O(T\sqrt n)$

$$code$$

#include<cstdio>
#define re register
#define ll long long
using namespace std;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
	x=0;
	char s=(char)getchar();
	bool flag=false;
	while(!(s>='0'&&s<='9'))
	{
		if(s=='-')
			flag=true;
		s=(char)getchar();
	}
	while(s>='0'&&s<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0';
		s=(char)getchar();
	}
	if(flag)
		x=(~x)+1;
	return;
}
inline ll gcd(ll a,ll b)
{
	return b==0?a:gcd(b,a%b);
}
 
inline long long Eular(long long n)
{
	long long ans=n;
	for(re int i=2; 1ll*i*i<= n; i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			ans-=ans/i;
			while(n%i==0)
				n/=i;
		}
	}
	if(n>1)
		ans-=ans/n;
	return ans;
}
int T;
int main()
{
	read(T);
	while(T--)
	{
		ll a,m;
		read(a),read(m);
		printf("%lld\n",Eular(m/gcd(a,m)));
	}
 
	return 0;
}

作者：蒟蒻wjr
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