SP11560 PUCMM210 - A Summatory
\[description
\]
输入T和T个n
求出
\[\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}j^3
\]
\[solution
\]
结论：
对于任意一个
\[f(n)=\sum_{i=1}^{n}i^3\ \ \ (n\in N^* )
\]
满足
\[f(n)=\frac{n^2(n+1)^2}{4}
\]
证明：
当\(n=1\)时，
\[\sum_{i=1}^ni^3=1^3=\frac {1^2\times2^2}{4}
\]
显然成立
设当\(k=n\)时成立
则 \(\sum_{i=1}^ki^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}\)成立
此时
\[1^3+2^3+...+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}
\]
\[1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3
\]
\[1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}
\]
\[1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{(k^2+4k+4)(k+1)^2}{4}
\]
\[1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{ (k+2)^2 (k+1)^2}{4}
\]
所以此时\(k+1=n\)成立
所以
\[f(n)=\sum_{i=1}^{n}i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\ \ \ (n\in N^* )
\]
所以题目所求为
\[\sum_{i=1}^nf(i)=\sum_{i=1}^n\frac{i^2(i^+1)^2}{4}
\]
前缀和预处理即可
注意除\(4\)是建议乘\(4\)在模\(1000000003\)意义下的逆元\(250000001\)
\[code
\]
#include <cstdio>
#define re register
using namespace std;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
x=0;
char s=(char)getchar();
bool flag=false;
while(!(s>='0'&&s<='9'))
{
if(s=='-')
flag=true;
s=(char)getchar();
}
while(s>='0'&&s<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0';
s=(char)getchar();
}
if(flag)
x=(~x)+1;
}
int T,n;
const int N=1e6,mod=1000000003;
int f[N+5];
int main()
{
for(re int i=1; i<=N; ++i)
f[i]=(int)((f[i-1]+1ll*i*i%mod*(i+1)%mod*(i+1)%mod*250000001%mod)%mod);//250000001是4在模1000000003意义下的逆元
read(T);
while(T--)
{
read(n);
printf("%d\n",f[n]);
}
return 0;
}
