SP11560 PUCMM210 - A Summatory

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题目链接：SP11560 PUCMM210 - A Summatory

$$description$$

输入T和T个n

求出

$$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}j^3$$

$$solution$$

结论：

对于任意一个

$$f(n)=\sum_{i=1}^{n}i^3\ \ \ (n\in N^* )$$

满足

$$f(n)=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$$

证明：

当$n=1$时，

$$\sum_{i=1}^ni^3=1^3=\frac {1^2\times2^2}{4}$$

显然成立

设当$k=n$时成立
则 $\sum_{i=1}^ki^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$成立
此时

$$1^3+2^3+...+k^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2}{4}+(k+1)^3$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{k^2(k+1)^2+4(k+1)^3}{4}$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{(k^2+4k+4)(k+1)^2}{4}$$

$$1^3+2^3+...+k^3+(k+1)^3=\frac{ (k+2)^2 (k+1)^2}{4}$$

所以此时$k+1=n$成立

所以

$$f(n)=\sum_{i=1}^{n}i^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}\ \ \ (n\in N^* )$$

所以题目所求为

$$\sum_{i=1}^nf(i)=\sum_{i=1}^n\frac{i^2(i^+1)^2}{4}$$

前缀和预处理即可

注意除$4$是建议乘$4$在模$1000000003$意义下的逆元$250000001$

$$code$$

#include <cstdio>
#define re register
using namespace std;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
	x=0;
	char s=(char)getchar();
	bool flag=false;
	while(!(s>='0'&&s<='9'))
	{
		if(s=='-')
			flag=true;
		s=(char)getchar();
	}
	while(s>='0'&&s<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0';
		s=(char)getchar();
	}
	if(flag)
		x=(~x)+1;
}
int T,n;
const int N=1e6,mod=1000000003;
int f[N+5];
int main()
{
	for(re int i=1; i<=N; ++i)
		f[i]=(int)((f[i-1]+1ll*i*i%mod*(i+1)%mod*(i+1)%mod*250000001%mod)%mod);//250000001是4在模1000000003意义下的逆元 
	read(T);
	while(T--)
	{
		read(n);
		printf("%d\n",f[n]);
	}
	return 0;
}

作者：蒟蒻wjr
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