P1993 小K的农场 题解

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solution:

这是一道差分约束的题不会差分约束系统的人请往这边走
差分约束系统，其形式非常像单源最短路的三角形不等式，所以已图论算法来列出方程(我是按求至少值得算法来求的，求最大值相反)

$$\left\{\begin{matrix} & a-b \geq c(k=1)& \\ & b-a \geq c (k=2)& \\ & a-b \geq 0, b-a \geq 0(k=3) & \end{matrix}\right.$$

如果建的图有负环(跑最长路求正环)，即小K抽了记错了。

这题我原来打的是基于BFS_SPFA，然后超时了，SPFA又死了， 觉得我变菜了虽然DFS_SPFA好用但是复杂度还是指数级的，特别有可能被毒瘤出题人卡过容易TLE，所以因为题目数据范围是$n,m \leq 10000$ 所以我可以分两中方案，如果为$n * m \geq 1E+7$，那么就悬着DFS_SPFA，如果不满足，选择珂学的方法BFS_SPFA，

BFS_SPFA的找负环

记一个数组为$cnt[i]$，表示经过的边数，如果$cnt[i]\geq m$，即出现负环，这种方法效率很高但是最坏为O(nm)还是死，比网上很多牺牲正确性来跑有时得不偿失的算法好多了。

代码实现我知道你们最喜欢这个：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#define re register
using namespace std;
template<typename T>
inline void read(T&x)
{
	x=0;
	char s=getchar();
	bool f=false;
	while(!(s>='0'&&s<='9'))
	{
		if(s=='-')
			f=true;
		s=getchar();
	}
	while(s>='0'&&s<='9')
	{
		x=(x<<1)+(x<<3)+s-'0';
		s=getchar();
	}
	if(f)
		x=(~x)+1;
}
const int N=1000010;
int dis[N];
struct Edge
{
	int next,to,dis;
} edge[N];
int num_edge,head[N],n,m,cnt[N],*v,*w;
bool exist[N];
inline void add_edge(const int&from,const int&to,const int&dis)
{
	edge[++num_edge].next=head[from];
	head[from]=num_edge;
	edge[num_edge].to=to;
	edge[num_edge].dis=dis;
}
inline void dfs_spfa(int u)
{
	exist[u]=true;
	for(re int i=head[u]; i; i=edge[i].next)
	{
		v=&edge[i].to;
		w=&edge[i].dis;
		if(dis[*v]<dis[u]+(*w))
		{
			dis[*v]=dis[u]+(*w);
			if(exist[*v])
			{
				printf("No\n");
				exit(0);
			}
			else
				dfs_spfa(*v);
		}
	}
	exist[u]=false;
}
queue<int>q;
inline void bfs_spfa()
{
	dis[0]=0;
	q.push(0);
	re int u;
	do
	{
		u=q.front();
		q.pop();
		exist[u]=false;
		for(re int i=head[u]; i; i=edge[i].next)
		{
			v=&edge[i].to;
			w=&edge[i].dis;
			if(dis[*v]<dis[u]+(*w))
			{
				dis[*v]=dis[u]+(*w);
				cnt[*v]=cnt[u]+1;
				if(cnt[*v]>m)
				{
					printf("No\n");
					return;
				}
				if(!exist[*v])
				{
					exist[*v]=true;
					q.push(*v);
				}
			}
		}
	}
	while(!q.empty());
	printf("Yes\n");
}
int main()
{
	read(n);
	for(re int i=1; i<=n; i++)
		dis[i]=-0x3f3f3f3f;
	read(m);
	for(re int i=1,k,a,b,c; i<=m; i++)
	{
		read(k);
		read(a);
		read(b);
		if(k==1)
		{
			read(c);
			add_edge(b,a,c);
		}
		else if(k==2)
		{
			read(c);
			add_edge(a,b,-c);
		}
		else if(k==3)
		{
			add_edge(a,b,0);
			add_edge(b,a,0);
		}
	}
	for(re int i=1; i<=n; i++)
		add_edge(0,i,0);
	if(n*m>=1e7)
	{
		dfs_spfa(0);
		printf("Yes\n");
	}
	else
		bfs_spfa();
	return 0;
}

如果差分约束系统已经有很大的基础，建议去做
[SCOI2011]糖果
和出纳员问题

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作者：蒟蒻wjr
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