《编程之美》蚂蚁爬杆问题的扩展【1】

有一根长为L的平行于x轴的细木杆，其左端点的x坐标为0（故右端点的x坐标为L）。刚开始时，上面有N只蚂蚁，第i(1≤i≤N)只蚂蚁的横坐标为xi（假设xi已经按照递增顺序排列），方向为di（0表示向左，1表示向右），每个蚂蚁都以速度v向前走，当任意两只蚂蚁碰头时，它们会同时调头朝相反方向走，速度不变。编写程序求所有蚂蚁都离开木杆需要多长时间。

该问题是经典问题了，有O(N)的解法。昨天和赵牛同学讨论了该问题的一些扩展，赵牛均给出了精妙解答，现列出如下：

1. 第i只蚂蚁什么时候走出木杆？
2. 所有蚂蚁从一开始到全部离开木杆共碰撞了多少次？
3. 第k次碰撞发生在哪个时刻？哪个位置？哪两个蚂蚁之间？
4. 哪只蚂蚁的碰撞次数最多？
5. 如果不是一根木杆而是一个铁圈，经过一段时间后所有蚂蚁都会回到的状态吗？这个时间的上界是多少？

扩展1的解答

现在来解决扩展1。这个解答甚是精妙，通俗点来说，我们假设每只蚂蚁都背着一袋粮食，任意两只蚂蚁碰头时交换各自的粮食然后调头。这种情况下，每次有一只蚂蚁离开木杆都意味着一袋粮食离开木杆（虽然可能已经不是它刚开始时背的那一袋了）。于是，我们可以求出每袋粮食离开木杆的时间（因为粮食是不会调头的）。又由于每袋粮食离开木杆的时间都对应某只蚂蚁离开木杆的时间，这是一种一一映射关系。现在我们要找到对应于第i只蚂蚁的那个映射。在此之前需要证明一个命题：

若一开始时有M只蚂蚁向左走，N-M只蚂蚁向右走，则最终会有M只蚂蚁从木杆左边落下，N-M只蚂蚁从木杆右边落下。

这个命题很容易证明：每次碰撞均不改变向左和向右的蚂蚁数量。于是，由于每次碰撞蚂蚁都会调头而不是穿过，最后必定是前M只蚂蚁从左边落下，后N-M只蚂蚁从木杆右边落下。由于我们知道每袋粮食是从哪边落下的，故左边落下的M袋粮食的离开木杆的时间就对应于前M只蚂蚁离开木杆的时间，右边的类似。因此，我们只需判断i和M的关系，便知道第i只蚂蚁是从左边还是右边落下。不妨假设是从左边落下，因此该蚂蚁落下的时间就等于从左边落下的第i袋粮食的落下时间。时间复杂度O(n)，一遍扫描搞定。

以上内容转自：http://lam8da.sinaapp.com/?p=11O(N)

 

但以上过程描述还是过于抽象，下面我根据自己的理解整理一下：

首先，以上提出的命题是很容易看出来的，不需要再次证明。

其次，所有的蚂蚁碰面之后都调头，因此蚂蚁之间的相对位置是不会改变的。

那么，从左边落下的，必然就是左边的M个蚂蚁；从右边落下的，就是右边的N-M个蚂蚁。

有了以上这样的认识，再来看这个题目。就会发现，第i只蚂蚁，如果i<=M，则该蚂蚁肯定会从左边落下；如果i>M就会从右边落下。

假设i<=M，则该蚂蚁从左边落下；而且是向左行走的第i袋粮食。

于是，我们可以扫描所有的蚂蚁，找出所有向左行走的第i只蚂蚁，它背的就是第i袋粮食。

那么，第i袋粮食从左边落下的时间就 等于 找到的这只蚂蚁离左边起点的距离 除以  它的速度。

很清晰了吧~

 

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。