深度学习中的范数
范数简述
我们知道距离的定义是一个宽泛的概念,只要满足非负、自反、三角不等式就可以称之为距离。
范数是一种强化了的距离概念,它在定义上比距离多了一条数乘的运算法则。有时候为了便于理解,我们可以把范数当作距离来理解。
即表示一种到坐标原点距离的度量。
例如:二阶范数(也称L2范数)是最常见的范数,即欧几里得距离。
L p L^p Lpnorm
∣ ∣ x ∣ ∣ p = ( ∑ i ( x i ) p ) 1 p ||x||_p=(\sum_i(x_i)^p)^{\frac{1}{p}} ∣∣x∣∣p=(i∑(xi)p)p1
更加严谨的定义:
范数即为满足以下三个性质的函数:
- f ( x ) = 0 ⇒ x = 0 f(x)=0\Rightarrow x=0 f(x)=0⇒x=0
- f ( x + y ) ≤ f ( x ) + f ( y ) f(x+y) \leq f(x)+f(y) f(x+y)≤f(x)+f(y) (the triangle inequality)
- ∀ α ∈ R , f ( α x ) = ∣ α ∣ f ( x ) \forall \alpha \in \mathbb{R},f(\alpha x)=|\alpha|f(x) ∀α∈R,f(αx)=∣α∣f(x)
Euclidean norm L 2 n o r m L^2 norm L2norm
∣ ∣ x ∣ ∣ 2 = ( ∑ i ( x i ) 2 ) ||x||_2=\sqrt{(\sum_i(x_i)^2)} ∣∣x∣∣2=(i∑(xi)2)
当
p
=
2
p = 2
p=2时,
L
2
L_2
L2范数被称为欧几里得范数(Euclidean norm)。它表示从原点出发到向量x 确定的点的欧几里得距离。
L
2
L_2
L2范数在机器学习中出现地十分频繁,经常简化表示为
∥
x
∥
∥x∥
∥x∥,略去了下标2。平方
L
2
L_2
L2范数也经常用来衡量向量的大小,可以简单地通过点积
x
⊤
x
x^⊤x
x⊤x 计算。
平方
L
2
L_2
L2 范数在数学和计算上都比
L
2
L_2
L2范数本身更方便。例如,平方
L
2
L_2
L2范数对x 中每个元素的导数只取决于对应的元素,而
L
2
L_2
L2范数对每个元素的导数却和整个向量相关。但是在很多情况下,平方
L
2
L_2
L2 范数也可能不受欢迎,因为它在原点附近增长得十分缓慢。
L 1 L_1 L1 norm
在某些机器学习应用中,区分恰好是零的元素和非零但值很小的元素是很重要的。在这些情况下,我们转而使用在各个位置斜率相同,同时保持简单的数学形式的函数:
L
1
L_1
L1 范数。
L
1
L_1
L1范数可以简化如下:
∣
∣
x
1
∣
∣
=
∑
i
x
i
||x_1||=\sum_i{x_i}
∣∣x1∣∣=i∑xi
当机器学习问题中零和非零元素之间的差异非常重要时,通常会使用
L
1
L_1
L1范数。每当x 中某个元素从0 增加ϵ,对应的
L
1
L_1
L1范数也会增加ϵ。
L 0 L_0 L0 norm
有时候我们会统计向量中非零元素的个数来衡量向量的大小。有些作者将这种函数称为" L 0 L_0 L0 范数",但是这个术语在数学意义上是不对的。向量的非零元素的数目不是范数,因为对向量缩放 α \alpha α倍不会改变该向量非零元素的数目。因此, L 1 L_1 L1 范数经常作为表示非零元素数目的替代函数。
L ∞ L_\infty L∞
另外一个经常在机器学习中出现的范数是
L
∞
L_\infty
L∞范数,也被称为最大范数(maxnorm)。这个范数表示向量中具有最大幅值的元素的绝对值:
∣
∣
x
∞
∣
∣
=
m
a
x
i
∣
x
i
∣
||x_{\infty}||=max_i|x_i|
∣∣x∞∣∣=maxi∣xi∣
Frobenius norm
有时候我们可能也希望衡量矩阵的大小。在深度学习中,最常见的做法是使用Frobenius 范数(Frobenius norm),
∣
∣
A
∣
∣
F
=
∑
i
,
j
A
i
,
j
2
||A||_F=\sqrt{\sum_{i,j}A^2_{i,j}}
∣∣A∣∣F=i,j∑Ai,j2
其类似于向量的
L
2
L_2
L2范数。
点积使用范数来表示
两个向量的点积(dot product)可以用范数来表示。具体地,
x
⊤
y
=
∣
∣
x
∣
∣
2
∣
∣
y
∣
∣
2
c
o
s
θ
x^⊤y=||x||_2||y||_2cos\theta
x⊤y=∣∣x∣∣2∣∣y∣∣2cosθ
其中
θ
\theta
θ表示x和y之间的夹角。
参考资料
http://www.deeplearningbook.org/