八大排序之堆排序
一、基本思想
堆排序是在选择排序基础上改进的排序,首先建立大根堆(即任意根节点的值均不小于子节点),然后每次取出堆顶元素,重新调整堆,然后再取出堆顶元素,直至最后一个堆元素被取出,则整个排序也就完成了。它的思想就是每次取出堆中的最大值,使其自然成序。
二、实现步骤
我们用一个数组来建立堆,期间会用到完全二叉树的一些性质,比如根节点与子节点索引的关系,叶子节点与非叶子节点分别是哪些。
由上面综述可知,堆排序主要有三个步骤
1)建立堆 : 建立堆我们可以看成是,对每一个根节点进行调整,每个根节点都满足堆的性质了,那么整个堆也就建立成功了。详见后面的调整堆。
2)输出堆顶 :现在堆已经建立好了,堆顶就是最大值。它在数组中的体现就是,a[0],而数组最后一个元素a[a.length-1]是未知的,将两者交换,这样最大值就到最后去了。在下一次输出时就应该是将a[0]与a[a.length-2]交换了,以此类推。
3)调整堆 :采用递归的方法进行调整。一次调整只针对当前的根节点和其子节点。如果子节点大于根节点,则交换之。进行了交换操作的子节点必然不能确定是否满足堆的性质了,于是在对该子节点进行调整,以此类推。那么,递归的出口呢?我们知道,叶子节点是不用参与调整的,因为它没有子节点了,不会对后面的堆产生影响。所以在进入递归函数时加一个判断即可。当调整到达叶子节点时,递归结束。
三、实现代码
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package sort; import sort.util.*; /* 堆排序整体思路: 1.建立大根堆 2.将最后一位与堆顶交换 3.由于这次交换,可能破坏堆的结构,进行调整 时间复杂度:外层循环O(n),内层调整取决于堆的深度log2(n),综上时间复杂度为nlog2(n) 空间复杂度:O(1),仅占据一个交换单元 稳定性: 不稳定,跳跃式交换 */ public class HeapSort implements ISort{ /* 假设现在大根堆已经完全建立了,交换最后一个元素与堆顶元素,相当于堆顶元素排序完成, 则此时需要从新的根开始向下逐级检查是否满足条件,然后做出调整。 */ private void adjustHeap(int[] a , int parent , int maxIndex) { if(maxIndex == 0) { return;} //堆中只剩一个元素了,不用调整了 if(parent >= 0 && parent <= (maxIndex - 1) / 2 ){ //maxIndex-1 / 2 是非叶节点最大索引。叶子节点不用调整,递归结束 //且限制数组越界,故做此判断 int left = 2 * parent + 1; int right = left + 1; //获取左右孩子的索引 int maxChild = left; //默认左孩子最大 if( right <= maxIndex && a[left] < a[right] ) { //如果右孩子存在且右孩子大于左孩子 maxChild = right; } if(a[maxChild] > a[parent]) { //如果孩子节点大于父节点,需要交换值。否则递归结束。 int t = a[maxChild]; a[maxChild] = a[parent]; a[parent] = t; adjustHeap(a , maxChild , maxIndex); //如果该孩子节点进行了交换,则必须对其进行检查、调整。 } } } public void buildHeap(int[] a) { //从最后一个非叶节点开始从下向上调整,建立堆。最大值一定是从下向上冒的。 for(int i = (a.length - 2) / 2; i >= 0 ; i-- ){ adjustHeap(a , i , a.length - 1); } } //将堆顶元素与堆中的最后元素的值交换,最后一个元素就有序了,堆规模减一 public void sort(int[] a) { buildHeap(a); //建立堆 for(int i = a.length-1 ; i >=1 ; i--){ int t = a[i]; a[i] = a[0]; a[0] = t; //最后一个无序元素与堆顶元素交换 adjustHeap(a , 0 , i-1); //调整堆,刚刚交换出来的那个已经不属于堆中元素了 } } public static void main(String[] args) { int[] array = RandomArrayGenerator.getRandomArray(100 , 30); SortTestHelper.test(new HeapSort() , array); } }
测试结果:
四、总结分析
时间复杂度:O(n log n)
空间复杂度:O(1)
堆排序算法的时间主要用在建立堆和调整堆上面,而调整堆的复杂度是与堆的深度有关的,是log n 。所以适用于记录较多的序列。
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