函数与方程
函数与方程章节中的诸多细节问题的梳理总结。
引入重要性
- 以前我们常研究这样的函数\(f(x)=x^2-3x+1\)的性质，也基本能研究清楚了，但随着对函数研究的逐步深入，我们发现，好多比较复杂的问题，比如函数\(g(x)=lnx-\cfrac{1}{x}\)，它与\(x\)轴有没有交点，交点的横坐标为多少等等问题时，我们发现不再能顺利地通过数的角度直接解出来，这时候我们自然需要调整思路，应该思考数的角度如果行不通，能不能考虑开辟形的角度，这就是引入函数与方程思想的初衷。
- 像上述的函数，求函数\(g(x)=0\)可以转化为求方程\(lnx=\cfrac{1}{x}\)的根，从而可以借助我们以前学过的函数\(y=lnx\)和函数\(y=\cfrac{1}{x}\)的图像，求两个函数图像交点的横坐标，从而使得问题得到比较简单的解决。
函数的零点
对于函数\(y＝f(x)(x∈D)\)，把使得\(f(x)=0\)的实数\(x\)叫做函数\(y＝f(x)(x∈D)\)的零点．简言之，零点不是点，是实数；零点是函数对应得方程\(f(x)=0\)的根。
- 有关零点的几个结论
(1). 若连续不断的函数\(f(x)\)在定义域上是单调函数，则\(f(x)\)至多有一个零点，也可能没有零点，比如\(f(x)=2^x\)单调递增，但没有零点。
(2). 连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号。比如函数\(f(x)=-(x-1)(x-2)\)，在\(1<x<2\)时，函数值\(f(x)\)都是正值。
(3). 连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，如\(y=x^3\)；也可能不变号，如\(y=x^2\)。
重要转化
函数\(y=f(x)=h(x)-g(x)\)有零点[数的角度]
\(\Longleftrightarrow\)函数\(y=f(x)\)与\(x\)轴有交点[形的角度]
\(\Longleftrightarrow\)方程\(f(x)=0\)有实根[数的角度]
\(\Longleftrightarrow\)函数\(y=h(x)\)与函数\(y=g(x)\)的图像有交点[形的角度]
- 具体应用时务必注意对函数\(f(x)\)的有效拆分，比如函数\(f(x)=lnx-x+2\)，
拆分为①\(h(x)=lnx\)和\(g(x)=x-2\)，或者拆分为②\(h(x)=lnx-2\)和\(g(x)=x\)，都比拆分为③\(h(x)=lnx-x\)和\(g(x)=2\)要强的多。
当拆分为①②时，我们都可以轻松的画出其图像，但是拆分为③时，要画出函数\(h(x)\)的图像，就需要导数参与。这是我们也就能理解有时候选择比努力更重要。
拆分原则：尽可能的拆分为我们学过的基本初等函数或初等函数，这样的拆分是上上策。
零点存在性定理
如果函数\(y＝f(x)\)在区间\([a，b]\)上的图象是连续不断的一条曲线，并且有\(f(a)\cdot f(b)<0\)，那么，函数\(y＝f(x)\)在区间\((a，b)\)内至少有一个零点，即至少存在一个\(c\in (a，b)\)，使得\(f(c)=0\)，这个\(c\)也就是方程\(f(x)＝0\)的根．
- 定理的理解需要注意：
①零点存在性定理的使用有两个条件必须同时具备，其一在区间\([a，b]\)上连续，其二\(f(a)\cdot f(b)<0\)，缺一不可；
比如，函数\(f(x)=\cfrac{1}{x}\)在区间\([-1，1]\)上满足\(f(-1)\cdot f(1)<0\)，但是其在区间\([-1，1]\)没有零点，原因是不满足第一条；
再比如函数\(f(x)=2^x\)，在区间\([-1，1]\)上满足连续，但是其在区间\([-1，1]\)没有零点，原因是不满足第二条；
②零点存在性定理只能判断函数的变号零点，不能判断不变号零点。
变号零点的例子\(f(x)=x^3\)的零点\(x=0\)，不变号零点的例子\(g(x)=x^2\)的零点\(x=0\)。
③零点存在性定理是函数有零点的充分不必要条件。
④零点存在性定理为什么前面用闭区间\([a，b]\)而后面用开区间\((a，b)\)？
由于要计算\(f(a)\)和\(f(b)\)的值，自然函数必须在区间的端点处有定义，故前边要使用闭区间，后边如果是闭区间，则零点可能会是\(x=a\)或\(x=b\)，这样条件就会变为\(f(a)\cdot f(b)\leq 0\)，与定理的条件不符，故后边用开区间\((a，b)\)。
求零点方法
- 解方程法；能解则解，从数的角度分析解决问题，本来就是排在第一位的。
解：由\(f(x)=2\sin x-\sin2x=2\sin x-2\sin x\cos x=2\sin x(1-\cos x)=0\)，
则\(\sin x=0\)或\(1-\cos x=0\)，
由\(\sin x=0\)且\(x\in [0, 2\pi]\)得到，\(x=0\)，或\(x=\pi\)，或\(x=2\pi\)，
由\(\cos x=1\)且\(x\in [0, 2\pi]\)得到，\(x=0\)，或\(x=2\pi\)，
即得到\(x=0\)，或\(x=\pi\)，或\(x=2\pi\)，故\(f(x)\)在\([0, 2\pi]\)的零点个数为\(3\)个，选\(B\).
- 图像法；图像法确定函数的零点，充其量也就是个大致的区间，不大可靠，而且随个人作图的习惯出入很大。
- 零点存在性定理；和图像法确定函数的零点相比，零点存在性定理可以说是比较精确的区间定位。
在具体题目中，常常需要同时用到两个以上的求解方法，
如求函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2-2，x\leqslant 0}\\{2x-6+lnx，x>0}\end{array}\right.\)的零点个数时，第一段用解方程法，第二段用图像法，共有两个零点。
二分法
对于在区间\([a，b]\)上连续不断且满足\(f(a)\cdot f(b)<0\)的函数\(y＝f(x)\)，通过不断地把函数\(f(x)\)的零点所在的区间一分为二，使有解区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。
- 简单的函数的零点我们直接就可以求出来，比如\(y=x^2-4\)的零点，为\(x=\pm 2\)，但是复杂一点的，比如\(g(x)=lnx-\cfrac{1}{x}\)的零点，我们用零点存在性定理只能知道其大概在区间\((1，2)\)内，如果题目有更高的精确度要求，那么我们就需要用到二分法，这就是二分法的应用价值。
典例剖析
①函数\(f(x)=x^2-1\)的零点是\((－1，0)\)和\((1，0)\)．
分析：错误，零点不是点，应该改为函数的零点为\(x=-1\)和\(x=1\)
【解后反思】类似的理科概念有：
截距(是坐标)不是距离(长度单位)，光年(长度单位)不是年(时间单位)；
最值点(横坐标)不是点，极值点(横坐标)不是点；
②函数\(y＝f(x)\)在区间\((a，b)\)内有零点(函数图象连续不断)，则一定有\(f(a)\cdot f(b)<0\).
分析：错误，比如不变号零点。
③二次函数\(y＝ax^2＋bx＋c(a≠0)\)在\(b^2－4ac<0\)时没有零点。
分析：正确。抛物线与\(x\)轴无交点，则二次函数无零点。
④若函数\(f(x)\)在\((a，b)\)上单调且\(f(a)\cdot f(b)<0\)，则函数\(f(x)\)在\([a，b]\)上有且只有一个零点。
分析：错误，比如分段函数\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{x^2+1，x\ge 0}\\{x-1，x<0}\end{array}\right.\)，在区间\((-2，2)\)上单调递增，
且有\(f(-2)\cdot f(2)<0\)，但是函数\(f(x)\)在区间\([-2，2]\)上没有零点。
分析：函数\(f(x)\)在区间\((1，2)\)上单调递增，现有一个零点在区间\((1，2)\)，
则必然满足\(f(1)\cdot f(2)<0\)，即\((2-2-a)(4-1-a)<0\)，
即\(a(a-3)<0\)，解得\(0<a<3\)。
分析：由\(f(x)=\left\{\begin{array}{l}{2-|x|，x\leq 2}\\{(x-2)^2，x>2}\end{array}\right.\)，得到
\(f(2-x)=\left\{\begin{array}{l}{2-|2-x|，2-x\leq 2}\\{(2-x-2)^2，2-x>2}\end{array}\right.\)，
即\(f(2-x)=\left\{\begin{array}{l}{2-|2-x|，x\ge 0}\\{x^2，x<0}\end{array}\right.\)，
再分类讨论去掉绝对值符号得到
\(f(2-x)=\left\{\begin{array}{l}{4-x，x>2}\\{x，0\leq x\leq 2}\\{x^2，x<0}\end{array}\right.\)，
故当\(x<0\)时，\(g(x)=3-x^2\)，\(f(x)=2+x\)，
当\(0\leq x\leq 2\)时，\(g(x)=3-x\)，\(f(x)=2-x\)，
当\(x>2\)时，\(g(x)=x-1\)，\(f(x)=(x-2)^2\)，
由函数\(y=f(x)-g(x)\)的零点个数即为方程\(f(x)=g(x)\)的根的个数，故有
当\(x<0\)时，\(3-x^2=2+x\)，解得\(x=\cfrac{-1-\sqrt{5}}{2}\)或\(x=\cfrac{-1+\sqrt{5}}{2}\)(舍去)；
当\(0\leq x\leq 2\)时，\(3-x=2-x\)，则方程无解；
当\(x>2\)时，\(x-1=(x-2)^2\)，即\(x^2-5x+5=0\)，解得\(x=\cfrac{5+\sqrt{5}}{2}\)或\(x=\cfrac{5-\sqrt{5}}{2}\)(舍去)；
故方程\(f(x)=g(x)\)的根的个数为\(2\)个，即函数\(y=f(x)-g(x)\)的零点个数为\(2\)个。
分析：转化为函数\(y=f(x)\)和函数\(y=3\)的图像恰有\(3\)个不同的交点，
做出两个函数的图像，由图像可知，要使其有\(3\)个不同的交点，
只需要\(-1<a<1\)，故\(a\in (-1，1)\)。
法1：完全分离参数法，即\(b=x^2+lnx-3x\)有唯一实数解，即\(g(x)=x^2+lnx-3x\)与\(y=b\)有唯一的交点。
\(g'(x)=2x+\cfrac{1}{x}-3=\cfrac{2x^2-3x+1}{x}=\cfrac{(2x-1)(x-1)}{x}\)，
则可知当\(0<x<\cfrac{1}{2}\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增；
当\(\cfrac{1}{2}<x<1\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减；
当\(x>1\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增；
故\(g(x)_{极大}=g(\cfrac{1}{2})=-\cfrac{5}{4}-ln2\)，\(g(x)_{极小}=g(1)=-2\)，
在同一个坐标系中做出两个函数的图像，由图像可知两个函数图像要有唯一的交点，
则 \(b\in (-\infty，-2)\cup(-\cfrac{5}{4}-ln2，+\infty)\)。
法2：也可以考虑不完全分离参数法，\(b-lnx=x^2-3x\)，当转化为两个函数图像有两个交点时，由于两个函数的凹凸性，都不太好表述，故放弃；
法3：也可以考虑不完全分离参数法，\(-lnx=x^2-3x-b\)，当转化为两个函数图像有两个交点时，由于两个函数的凹凸性，都不太好表述，故放弃；
引申思考：
①若方程\(f(x)=0\)有两个实数解，则实数\(b\)的值是\(b=-\cfrac{5}{4}-ln2\)或\(b=-2\)。
②若方程\(f(x)=0\)有三个实数解，则实数\(b\)的值是\(b\in(-2，-\cfrac{5}{4}-ln2)\)。
③若方程\(f(x)=0\)没有实数解，则实数\(b\)的值是\(b\in\varnothing\)。
④若方程\(f(x)=0\)至少有一个实数解，则实数\(b\)的值是\(b\in(-\infty，-2]\cup[-\cfrac{5}{4}-ln2，+\infty)\)。
分析：完全分离参数法，得到方程\(x^2-xcosx+sinx=m\)有两个不同的实数根，
即函数\(y=m\)和函数\(f(x)=x^2-xcosx+sinx\)的图像有两个不同的交点，
以下用导数法求函数\(f(x)\)的单调性；
\(f'(x)=2x-cosx+xsinx+cosx=2x+xsinx=x(2+sinx)\)，
由于\(2+sinx>0\)恒成立，故
当\(x\in(-\infty，0)\)时，\(f'(x)<0\)，\(f(x)\)单调递减，
当\(x\in(0，+\infty)\)时，\(f'(x)>0\)，\(f(x)\)单调递增，
故当\(x=0\)时，函数\(f(x)_{min}=f(0)=0\)，
借助函数的大致图像可知，
要使得函数\(y=m\)和函数\(f(x)=x^2-xcosx+sinx\)的图像有两个不同的交点，
则实数\(m\)的取值范围是\((0，+\infty)\)。
分析：两个函数的图像只有一个交点，即方程\(x^2=a^x\)只有一个根，
法1：利用两个函数的图像，尤其是\(y=a^x\)的动态图形来说明问题；曲线和曲线相切；
当\(a>1\)时，函数\(y=x^2\)与函数\(y=a^x\)有两个交点的临界位置是在第一象限相切的情形，如下图所示；
以下重点求解相切时的参数\(a\)的值；设两条曲线相切时的切点为\(P(x_0，y_0)\)，
则有\(\left\{\begin{array}{l}{2x_0=a^{x_0}\cdot \ln a ① }\\{y_0=x_0^2 ② }\\{y_0=a^{x_0} ③ }\end{array}\right.\)
由②③可知，\(x_0^2=a^{x_0}④\)，代入①得到，\(2x_0=x_0^2\cdot\ln a\)，化简得到\(2=x_0\cdot\ln a⑤\)，
又由④两边取对数得到，\(2lnx_0=x_0\cdot\ln a⑥\)，由⑤⑥得到，\(2lnx_0=2\)，解得\(x_0=e\)，代入②得到\(y_0=e^2\)，
再代入③得到，\(e^2=a^e\)，两边取对数得到，\(\ln a=\cfrac{2}{e}\)，则\(a=e^{\frac{2}{e}}\)，
即两条曲线相切时的\(a=e^{\frac{2}{e}}\)，则\(a>e^{\frac{2}{e}}\)时，两条曲线必然只有一个交点。
当\(0<a<1\)时，函数\(y=x^2\)与函数\(y=a^x\)有两个交点的临界位置是在第二象限相切的情形，如下图所示；
以下重点求解相切时的参数\(a\)的值；设两条曲线相切时的切点为\(P(x_0，y_0)\)，
则有\(\left\{\begin{array}{l}{2x_0=a^{x_0}\cdot \ln a ① }\\{y_0=x_0^2 ② }\\{y_0=a^{x_0} ③ }\end{array}\right.\)
由②③可知，\(x_0^2=a^{x_0}④\)，代入①得到，\(2x_0=x_0^2\cdot \ln a\)，化简得到\(2=x_0\cdot \ln a⑤\)，
又由④两边取对数得到，\(2ln|x_0|=x_0\cdot \ln a⑥\)，由⑤⑥得到，\(2ln|x_0|=2\)，解得\(x_0=-e\)，代入②得到\(y_0=e^2\)，
再代入③得到，\(e^2=a^{-e}\)，两边取对数得到，\(-\ln a=\cfrac{2}{e}\)，则\(a=e^{-\frac{2}{e}}\)，
即两条曲线相切时的\(a=e^{-\frac{2}{e}}\)，则\(0<a<e^{-\frac{2}{e}}\)时，两条曲线必然只有一个交点。
综上所述，\(a\in(0，e^{-\frac{2}{e}})\)，或者\(a\in (e^{\frac{2}{e}}，+\infty)\)，故选\(C\).
法2：分离参数得到，\(lnx^2=x\ln a\)，再变形为\(\ln a=\cfrac{2ln|x|}{x}\)，令\(h(x)=\cfrac{2ln|x|}{x}\)，重点是作其图像；
由于\(h(x)\)是奇函数，故当\(x>0\)时，\(h(x)=\cfrac{2lnx}{x}\)，以下用导数研究其单调性；
\(h'(x)=\cdots=\cfrac{2(1-lnx)}{x^2}\)，则\(x\in (0，e)\)时，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增；则\(x\in (e，+\infty)\)时，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减；又\(h(e)=\cfrac{2}{e}\)，故可以做出\(x>0\)时的\(h(x)\)图像以及\(x<0\)时的\(h(x)\)图像，如下图所示；
由图可知，\(\ln a>\cfrac{2}{e}\)或\(\ln a<-\cfrac{2}{e}\)时，两个函数图像仅有一个交点，
解得\(a\in(0，e^{-\frac{2}{e}})\)，或者\(a\in (e^{\frac{2}{e}}，+\infty)\)，故选\(C\).
分析：这类题目一般需要用到拆分，但本题目需要用到整合，通过做差构造函数，
令\(f(x)=x^3-(\cfrac{1}{2})^{x-2}\)，函数的定义域为\(R\)，且为增函数，
又由于\(f(1)=-1<0\)，\(f(2)=7>0\)，故\(x_0\)所在的区间为\((1,2)\).
分析：由题目可知，\(T=4\)，故\(f(x+4)=f(x)\)，又\(f(-x)=f(x)\)，则可知\(f(x+4)=f(-x)\)，故函数图像关于\(x=2\)对称，
利用现有的定义域，奇偶性，周期性，对称性和解析式，做出适合题意的图像如下：
要是方程\(f(x)=log_ax\)有三个不同的实根，则需要满足\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{log_a6<2}\\{log_a10>2}\end{array}\right.\)，即\(\left\{\begin{array}{l}{a>1}\\{a^2>6}\\{a^2<10}\end{array}\right.\)，
解得\(a\in (\sqrt{6}，\sqrt{10})\)。
分析：函数\(f(x)=log_2(x+1)\)的图像向右平移一个单位，所得函数为\(y=log_2x\)，其关于直线\(y=x\)对称的函数为\(g(x)=2^x\)，
则得到\(x\in [0,1]\)时，\(h(x)=g(x)-1=2^x-1\)，又由于\(h(x)\)为偶函数，则\(h(-x)=h(x)\)①，
又\(h(x-1)=h(-x-1)\)，则\(h(x)=h(-x-2)\)②，由①②得到，\(h(-x-2)=h(-x)\)，即\(T=2\)，
又函数\(y=k\cdot f(x)-h(x)\)有五个零点，则函数\(y=k\cdot f(x)\)与函数\(y=h(x)\)的图像有五个交点，做出图像如下，
由图像可知，需要满足条件\(\left\{\begin{array}{l}{k\cdot log_2(3+1)<1}\\{k\cdot log_2(5+1)>1}\end{array}\right.\)
即\(\left\{\begin{array}{l}{2k<1}\\{k\cdot log_26>1}\end{array}\right.\) 解得\(log_62<k<\cfrac{1}{2}\)，故选\(C\)。
解：选 \(A\) .
