高中数学中需要重点关注的函数和图像
性质综合应用
- 在函数性质的综合应用中需要关注的函数
常见的奇函数:\(f(x)=kx\);\(f(x)=x^3\);\(f(x)=x^k\)(\(k\)为正奇数);\(y=Asin\omega x\);
\(y=e^x-e^{-x}\);\(y=2^x-2^{-x}\);\(y=ln\cfrac{x+1}{x-1}\);
常见的偶函数:\(f(x)=x^2\);\(y=k|x|(k\in R)\);\(y=e^{|x|}\);\(f(x)=x^k\)(\(k\)为正偶数);
\(y=Acos\omega x\);\(y=e^x+e^{-x}\);\(y=2^x+2^{-x}\);
考查方向:可能需要用到每个部分的奇偶性,
比如函数\(f(x)=ln(|x|-1)-log_{0.5}(x^2+1)\),就是偶函数;
图像变换
- 在函数图像变换、函数与方程中需要关注的函数
\(y=|x|\);\(y=a^{|x|}(a >1)\);\(y=a^{|x|}(0< a <1)\);\(y=|x^2-2x-4|\);
\(y=lg|x|\);\(y=|lg|x||\);\(y=|lgx|\);\(y=e^x+e^{-x}\);\(y=2^x+2^{-x}\);
- 同时请注意以下函数中的参数\(a\)的作用;
\(y=a\cdot x^2\);\(y=a\cdot |x|\);\(y=|x+a|\);\(y=a\cdot e^x\);\(y=a\cdot lnx\)
- 函数\(y=\sqrt{1-x^2}\),
由单位圆\(x^2+y^2=1\)可知,\(0<y<\sqrt{1-x^2}\)指\(x\)轴上方的单位圆的内部。
- 函数\(y=\sqrt{4-\cfrac{4x^2}{9}}\)
由椭圆\(\cfrac{x^2}{9}+\cfrac{y^2}{4}=1\)可知,\(0<y<\sqrt{4-\cfrac{4x^2}{9}}\)指\(x\)轴上方的椭圆内部。
函数与导数
- 在函数与导数应用中需要关注的函数
\(y=x\cdot lnx\),\(y=\cfrac{lnx}{x}\),\(y=x\cdot e^x\),\(y=\cfrac{e^x}{x}\),
不等式证明
在不等式证明中中需要关注的函数:
函数\(f(x)=e^x-x-1\)在\((-\infty,0)\)上单调递减,在\((0,+\infty)\)上单调递增;
体现在函数的图像上(形),函数\(y=e^x\)的图像恒在函数\(y=x+1\)的上方;
体现在大小关系上(数),\(e^x\ge x+1\);
- 函数\(f(x)=x-1-lnx\)在\((0,1)\)上单调递减,在\((1,+\infty)\)上单调递增;
体现在函数的图像上(形),函数\(y=x-1\)的图像恒在函数\(y=lnx\)的上方;
体现在大小关系上(数),\(x-1\ge lnx\);