函数对称性的应用及判断

合集 - 函数的对称性(9)

1.函数的对称性的常用结论2017-02-19

2.函数对称性的应用及判断2018-10-05

3.抽象函数的对称性验证2018-10-014.思维|奇偶性周期性对称性的高阶认知2021-08-235.三角函数对称性[奇偶性]2019-04-016.函数的对称性习题2017-11-257.函数的对称性判断2020-11-308.轴对称和中心对称2020-01-279.如何求函数的对称中心和对称轴 | 探究拓宽2023-11-03

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公式定理💯随心记

【三角恒等变换】和角公式：$\sin (α\pmβ)=\sinα\cosβ\pm\cosα\sinβ$；$\cos (α\pmβ)=\cosα\cosβ\mp\sinα\sinβ$；$\tan (α\pmβ)=\cfrac {\tanα\pm\tanβ}{1\mp\tanα\tanβ}$

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前言

当你学习了本篇博文后，如果感觉还需要深入学习，可以阅读函数的对称性习题；

常见结论

• 注意：此时只涉及一个函数，是函数自身具有的对称性，而不是两个函数之间的对称；

1、若函数 $y=f(x)$ 关于原点 $(0，0)$ 对称，则 $f(-x)=-f(x)$ 或 $f(x)+f(-x)=0$，反之亦成立；

2、若函数 $y=f(x)$ 关于直线 $x=a$ 对称，则 $f(a+x)=f(a-x)$，反之亦成立；

3、若函数 $y=f(x)$ 满足 $f(a+x)=f(b-x)$，则其图像关于直线 $x=\cfrac{a+b}{2}$ 对称，反之亦成立；

4、若函数 $y=f(x)$ 图像是关于点 $A(a，b)$ 对称，则充要条件是 $f(x)+f(2a-x)=2b$。

给出方式

• 1、以图像的形式给出；

解读图像，从图像中我们就可以找出对称轴。

• 2、以奇偶性的形式给出 [奇偶性是对称性的特例]；

比如奇函数，$f(-x)=-f(x)$ 或者 $f(-x)+f(x)=0\Longrightarrow$ 对称中心为 $(0，0)$

比如偶函数，$f(-x)=f(x)$ 或者 $f(-x)-f(x)=0\Longrightarrow$ 对称轴为 $x=0$

• 3、以奇偶性的拓展形式给出；

比如 $f(2+x)+f(-x)=2$，则对称中心为 $(1，1)$；

比如 $f(x)=f(4-x)$，则对称轴为 $x=2$，原因解释

• 4、以周期性 + 奇偶性的形式给出；

如，已知函数 $f(x)$ 是奇函数，且满足 $f(x+4)=-f(x)$，

则由 $\begin{align*} f(x+4)&=-f(x) \\ f(-x)&=-f(x)\end{align*}$ $\big\}\Longrightarrow f(x+4)=f(-x)\Longrightarrow$ 对称轴是 $x=2$

对称性应用

【2016 高考理科数学全国卷 2 第 12 题】【共用对称中心】已知函数 $f(x)(x\in R)$ 满足 $f(-x)=2-$ $f(x)$，若函数 $y=\cfrac{x+1}{x}$ 与函数 $y=f(x)$ 图像的交点为 $(x_1，y_1)$，$(x_2，y_2)$，$\cdots$，$(x_m，y_m)$，则 $\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}$ 的值为【$\qquad$】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：由题目可知 $f(x)+f(-x)=2$，即函数 $f(x)$ 图像关于点 $(0，1)$ 对称，

而函数 $y=\cfrac{x+1}{x}=1+\cfrac{1}{x}$ 图像也关于点 $(0，1)$ 对称，即两个函数图像有相同的对称中心，

那么二者的交点个数一定有偶数个，如图所示， 可知对横坐标而言有 $\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=0$，

而对纵坐标而言，成对的点的个数是 $\cfrac{m}{2}$ 个，他们中的每一对满足 $\cfrac{y_1+y_m}{2}=1$，

即 $y_1+y_m=2$，故 $\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=2\cdot \cfrac{m}{2}=m$，

故 $\sum\limits_{i=1}^m{(x_i+y_i)}=\sum\limits_{i=1}^m{x_i}+\sum\limits_{i=1}^m{y_i}=m$，故选 $B$ .

【2016 高考文科数学全国卷 2 第 12 题】【共用对称轴】已知函数 $f(x)(x\in R)$ 满足 $f(x)=$ $f(2-x)$，若函数 $y=|x^2-2x-3|$ 与函数 $y=f(x)$ 图像的交点为 $(x_1，y_1)$，$(x_2，y_2)$，$\cdots$，$(x_m，y_m)$，则 $\sum\limits_{i=1}^m{x_i}$ 的值为 【$\qquad$】

$A.0$ $B.m$ $C.2m$ $D.4m$

分析：函数 $f(x)(x\in R)$ 满足 $f(x)=f(2-x)$，则函数的对称轴是直线 $x=1$，

而函数 $y=|x^2-2x-3|=|(x-1)^2-4|$ 的对称轴也是直线 $x=1$，作出函数的图像如右图所示，

则二者的交点个数 $m$ 一定是偶数个，两两配对的个数为 $\cfrac{m}{2}$，比如 $A$ $B$ 配对，

则有 $\cfrac{x_1+x_m}{2}=1$，$x_1+x_m=2$，故 $\sum\limits_{i=1}^m{x_i}=\cfrac{m}{2}\cdot 2=m$，故选 $B$。

对称性判断

【2017 全国卷 1 文科第 9 题高考真题】已知函数 $f(x)=lnx+ln(2-x)$，则【$\qquad$】

$A.$ 在 $(0，2)$ 上单调递增

$B.$ 在 $(0，2)$ 上单调递减

$C.y=f (x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称

$D.y=f (x)$ 的图像关于点 $(1，0)$ 对称

分析：由于函数 $f(x)$ 是复合函数，定义域要使 $x>0，2-x>0$，即定义域是 $(0，2)$，

又 $f(x)=ln[x(2-x)]=ln[-(x-1)^2+1]$，则由复合函数的单调性法则可知，

在 $(0，1)$ 上单增，在 $(1，2)$ 上单减，故排除 $A$，$B$；

若函数 $y=f(x)$ 关于点 $(1，0)$ 对称，则函数 $f(x)$ 必然满足关系：$f(x)+f(2-x)=0$；

若函数 $y=f(x)$ 关于直线 $x=1$ 对称，则函数 $f(x)$ 必然满足关系：$f(x)=f(2-x)$；

接下来我们用上述的结论来验证，由于 $f(x)=lnx+ln(2-x)$，

$f(2-x)=ln(2-x)+ln(2-(2-x))=ln(2-x)+lnx$，即满足 $f(x)=f(2-x)$，故函数 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=1$ 对称，选 $C$；

再来验证 $D$，发现 $f(x)+f(2-x)=2[lnx+ln(2-x)]\neq 0$，$D$ 选项不满足。故选 $C$。

【2019 会宁模拟】已知函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$，且在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，$g(x)=-f(|x|)$，若 $g(lgx)>g(1)$，则 $x$ 的取值范围为【$\qquad$】

$A.(0,10)$ $B.(10,+\infty)$ $C.(\cfrac{1}{10},10)$ $D.(0,\cfrac{1}{10})\cup (10,+\infty)$

分析：由于函数 $f(x)$ 的定义域为 $R$，且在 $[0,+\infty)$ 上单调递增，

故函数 $g(x)=-f(|x|)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调递减，且为偶函数，

故 $g(lgx)>g(1)$ 即可以变形为 $g(|lgx|)>g(1)$，则由单调性可知，

$|lgx|<1$，即 $-1<lgx<1$，解得 $\cfrac{1}{10}<x<10$，故选 $C$。

【2019 届高三理科数学三轮模拟题】已知函数 $f(x)=e^x+e^{2-x}$，则 $f(x)$ 【$\qquad$】

$A.$ 在 $R$ 上递增

$B.$ 在 $R$ 上递减

$C.$ 关于点 $(1，2e)$ 对称

$D.$ 关于直线 $x=1$ 对称

提示：由于函数满足 $f(x)=f(2-x)$，故函数 $f(x)$ 关于直线 $x=1$ 对称，选 $D$。

引申：$f(x)=e^x+e^{1-x}$；$g(x)=e^x+e^{-x}$；

【2018 高三文科训练题】已知函数 $f(x)=lg(4x-x^2)$，则【$\qquad$】

$A.f (x)$ 在 $(0，4)$ 上单调递增

$B.f (x)$ 在 $(0，4)$ 上单调递减

$C.y=f (x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称

$D.y=f (x)$ 的图像关于点 $(2，0)$ 对称

分析：令内函数 $g(x)=4x-x^2>0$，得到定义域 $(0，4)$，又 $g(x)=-(x-2)^2+4$，故内函数在 $(0，2]$ 单减，在 $[2，4)$ 单增，外函数只有单调递增，故复合函数 $f(x)$ 在 $(0，2]$ 单减，在 $[2，4)$ 单增，故排除 $A$、$B$；

要验证 $C$ 选项，只需要验证 $f(x)=f(4-x)$ 即可，这是 $y=f(x)$ 的图像关于直线 $x=2$ 对称的充要条件；

而 $f(4-x)=lg[4(4-x)-(4-x)^2]=lg(16-4x-16+8x-x^2)=lg(4x-x^2)=f(x)$，故选 $C$。

若要验证 $D$ 选项，只需要利用 $y=f(x)$ 的图像关于点 $(2，0)$ 对称的充要条件，即验证 $f(x)+f(4-x)=0$ 即可。自行验证，不满足。

故本题目选 $C$.

已知函数 $f(x)=\ln x+\ln (a-x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称， 则函数 $f(x)$ 的值域为 【$\qquad$】

$A.(0,2)$ $B.[0,+\infty)$ $C.(-\infty,2]$ $D.(-\infty, 0]$

解：根据题意， 对于函数 $f(x)=\ln x+\ln (a-x)$，

有 $f(a-x)=\ln (a-x)+\ln [a-(a-x)]=\ln x+\ln (a-x)=f(x)$，即 $f(a-x)=f(x)$，

则函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a}{2}$ 对称，

若函数 $f(x)=\ln x+\ln (a-x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，则有 $\cfrac{a}{2}=1$， 则 $a=2$，

则 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)=\ln \left(2 x-x^{2}\right)$，其定义域为 $(0,2)$，

设 $t=2 x-x^{2}$， 则 $y=\ln t$，

又由 $t=-(x-1)^{2}+1$，$0<x<2$， 则有 $0<t\leqslant 1$， 则 $y=\ln t\leqslant 0$，

即函数 $f(x)$ 的值域为 $(-\infty, 0]$， 故选: $D$ .