复合函数

公式定理💯随心记

【独立事件概率】事件 A 与 B 独立，则 $P (A\cap B)=P (A)\cdot P (B)$；n 个独立事件 $P (A_1\cap A_2\cap\cdots\cap A_n)=P (A_1) P (A_2)\cdots P (A_n)$

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前言

复合函数是高中数学中的一大难点，那么什么是复合函数呢？就像我们学习集合的交集运算时，有 $A\cap(B\cap C)$ 一样 (求完交集再求交集)，由 $x\rightarrow g(x)$(对应)，再由 $g(x)\rightarrow f[g(x)]$(对应完后再对应)，这样我们得到的函数 $y=f[g(x)]$ 就是复合函数。

复习准备

• 基本初等函数，可以类比原子是构成物质的最基本的不可再分的微粒一样，来理解基本初等函数和其他函数的关系。高中阶段所学习的函数中，只有前五种基本初等函数，需要学生切实掌握。第六种现在不需要学生学习。

①常函数 $f(x)=c(c$ 为常数) ；

②幂函数 $f(x)=x^{\alpha}$ ；

③指数函数 $f(x)=a^x(a>0$ 且 $a\neq 1)$ ；

④对数函数 $f(x)=log_ax(a>0$ 且 $a\neq 1)$ ；

⑤三角函数 $f(x)=sinx$ 或 $f(x)=cosx$ ；

⑥反三角函数 $f(x)=arcsinx，x\in[-\cfrac{\pi}{2}，\cfrac{\pi}{2}]$ 等 ，

• 初等函数：由基本初等函数经过四则运算所构成的函数。如一次函数，二次函数等。比如，一次函数 $f(x)=kx+b(k\neq 0)$，其实是常函数 $y=k$ 与幂函数 $y=x$ 相乘，再与常函数 $y=b$ 求和得到的；比如，指数型函数 $y=3\cdot 2^x+1$，其实是常函数 $y=3$ 与指数函数 $y=2^x$ 相乘，再与常函数 $y=1$ 求和得到的。

复合函数

高中阶段涉及到的复合函数，一般就由以上的基本初等函数或初等函数复合而成。为控制难度，一般大多只复合一次。

定义：设函数 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$，则函数 $y=f[g(x)]$ 称为由 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 复合而成的复合函数，其中函数 $y=f(u)$ 常常称为外函数，函数 $u=g(x)$ 常常称为内函数，其中内函数的值域必须是外函数的定义域的子集。

如何拆分

有时候，我们却需要将复合函数拆分开，以便于解决相应的问题。此时我们应该注意，要尽可能将函数拆分为为基本初等函数或初等函数。比如，给定函数如 $y=(\cfrac{1}{2})^{2x^2+3x-1}$，我们就拆分为 $y=(\cfrac{1}{2})^u$ 和 $u=2x^2+3x-1$ 两个函数。

典例剖析

• 涉及复合函数 + 抽象函数的定义域，需要注意以下几点：

①比如 $f(x)$ 与 $f(x+2)$ 和 $f(2^x-3)$ 中，由于自变量 $x$ 与 $x+2$ 和 $2^x-3$ (此处需要将 $x+2$ 和 $2^x-3$ 分别看成一个整体对待，比如 $t=x+2$ 或 $t=2^x-3$) 接受同样的对应关系的作用，故所受的限制应该是一样的，即三个自变量 (或自变量的整体) 的取值范围应该是一样的；举个实际例子，三个自变量 $x$ 与 $x+2$ 和 $2^x-3$ 就类似一个班级里的某个单个人，某个小组，某个组织等，它们都应该接受这个班级的纪律约束 (就类似对应关系 $f$ ) 一样.

②已知定义域或求解定义域都是针对单独的自变量 $x$ 而言。

已知函数 $f(x)$ 的定义域是 $[-1，1]$，求函数 $f(2x+1)$ 的定义域；

分析：解决这类题目需要牢牢抓住两点：其一接受对应法则 $f$ 作用的 $x$ 和 $2x+1$ 是处于对等位置的，其二不论是给定函数的定义域还是求解函数的定义域，都是针对单独的自变量 $x$ 而言，

据此可知由于 $-1\leq x\leq 1$，

故 $-1\leq 2x+1\leq 1$，解得 $x\in [-1，0]$，

故复合函数 $f(2x+1)$ 的定义域是 $x\in [-1，0]$。

已知函数 $f(x+1)$ 的定义域是 $[0，1]$，求函数 $f(2^x-2)$ 的定义域。

分析：这里同样你得清楚 $x+1$ 和 $2^x-2$ 是对等的，

先由 $x\in[0，1]$，计算得到 $1\leq x+1\leq 2$，故 $1\leq 2^x-2\leq 2$，

解得 $3\leq 2^x\leq 4$，同时取以 2 为底的对数得到 $log_2^3\leq x\leq 2$，

则所求定义域是 $x\in [log_2^3，2]$。

已知函数 $f(2x+1)$ 的定义域是 $[-1，1]$，求函数 $f(x)$ 的定义域；

分析：由上面的例子分析可知，所给函数的定义域是 $[-1，1]$，

即函数 $f(2x+1)$ 的自变量 $x$ 的取值范围是 $[-1，1]$，

故内函数 $2x+1$ 的取值范围这样求解，

由 $-1\leq x \leq 1$，得到 $-2\leq 2x \leq 2$，

所以 $-1=-2+1\leq 2x+1 \leq 2+1=3$，

又由于 $2x+1$ 和 $x$ 对等 (你可以理解为这两个接受同样的纪律约束也行)，

所以 $f(x)$ 的 $x$ 的取值范围应该是 $-1\leq x\leq 3$，

故函数 $f(x)$ 的定义域是 $[-1，3]$。

• 复合函数的值域

【2019 河南普通高中高考适应性考试】已知函数 $f(x)=log_{0.5}(sinx+cos^2x-1)$，$x\in (0,\cfrac{\pi}{2})$，则 $f(x)$ 的取值范围是_____________。

分析：设 $g(x)=sinx+cos^2x-1$，$x\in (0,\cfrac{\pi}{2})$，则 $g(x)=sinx-sin^2x=-(sinx-\cfrac{1}{2})^2+\cfrac{1}{4}$，

又 $0<sinx<1$，故当 $sinx=\cfrac{1}{2}$ 时，$g(x)_{max}=\cfrac{1}{4}$，即 $0<g(x)\leqslant \cfrac{1}{4}$，

故 $f(x)=log_{0.5}g(x)\geqslant log_{0.5}\cfrac{1}{4}=2$，故 $f(x)\in [2，+\infty)$。

已知函数 $f(x)=\ln x+\ln (a-x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称， 则函数 $f(x)$ 的值域为 【$\qquad$】

$A.(0,2)$ $B.[0,+\infty)$ $C.(-\infty,2]$ $D.(-\infty, 0]$

解：根据题意， 对于函数 $f(x)=\ln x+\ln (a-x)$，

有 $f(a-x)=\ln (a-x)+\ln [a-(a-x)]=\ln x+\ln (a-x)=f(x)$，即 $f(a-x)=f(x)$，

则函数 $f(x)$ 的图象关于直线 $x=\frac{a}{2}$ 对称，

若函数 $f(x)=\ln x+\ln (a-x)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，则有 $\cfrac{a}{2}=1$， 则 $a=2$，

则 $f(x)=\ln x+\ln (2-x)=\ln \left(2 x-x^{2}\right)$，其定义域为 $(0,2)$，

设 $t=2 x-x^{2}$， 则 $y=\ln t$，

又由 $t=-(x-1)^{2}+1$，$0<x<2$， 则有 $0<t\leqslant 1$， 则 $y=\ln t\leqslant 0$，

即函数 $f(x)$ 的值域为 $(-\infty, 0]$， 故选: $D$ .

• 复合函数的单调性

已知函数 $f(x)=log_2(x^2-3x+2)$，求其单调性。

分析：令 $u=x^2-3x+2$，则原复合函数拆分为外函数 $y=f(u)=log_2u$ 和内函数 $u=x^2-3x+2$

由 $u=x^2-3x+2>0$，解得 $x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)$，

即此复合函数的定义域为 $x\in (-\infty，1)\cup(2，+\infty)$。

那么要研究其单调性，必须先在上述定义域范围内，定义域优先原则。

然后由 $u=x^2-3x+2=(x-\cfrac{3}{2})^2-\cfrac{1}{4}$，

则内函数 $u(x)$ 在区间 $(-\infty，1)$ 上单调递减，在区间 $(2，+\infty)$ 上单调递增，

而外函数 $y=f(u)=log_2u$ 只是单调递增的，

故复合函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty，1)$ 上单调递减，在区间 $(2，+\infty)$ 上单调递增。

【求复合函数的单调区间】【2018 天津模拟】已知函数 $y=f(x)(x\in R)$ 的图像如图所示，则函数 $g(x)=f(log_ax)(0<a<1)$ 的单调递减区间为【$\quad$】

$A.[0，\cfrac{1}{2}]$ $B.[\sqrt{a}，1]$ $C.(-\infty，0)\cup[\cfrac{1}{2}，+\infty)$ $D.[\sqrt{a}，\sqrt{a+1}]$

分析：由图可知，外函数 $f(x)$ 在区间 $(-\infty，0)$ 和 $[\cfrac{1}{2}，+\infty)$ 上单调递减，在区间 $[0，\cfrac{1}{2}]$ 上单调递增，

又 $0<a<1$ 时，内函数 $y=log_ax$ 在区间 $(0，+\infty)$ 上单调递减，

故要使得复合函数函数 $g(x)=f(log_ax)(0<a<1)$ 单调递减，

则需要 $log_ax\in [0，\cfrac{1}{2}]$，即 $0\leq log_ax\leq \cfrac{1}{2}$，

解得 $x\in [\sqrt{a}，1]$，故选 $B$。

• 已知复合函数的单调性求参数的取值范围

【2019 届高三理科数学三轮模拟试题】若函数 $f(x)=log_{0.4}(5+4x-x^2)$ 在区间 $(a-1，a+1)$ 上单调递减，则实数 $a$ 的取值范围是【】

$A.[0，1]$ $B.(0，1)$ $C.[3，4]$ $D.(3，4)$

分析：内函数 $g(x)=-(x-2)^2+9$，若要在区间 $(a-1，a+1)$ 上单调递减，

则内函数需要满足条件 $a+1\leq 2$①；

又由于内函数必须恒为正，故需要满足 $-(a-1-2)^2+9\ge 0$②，

联立①②可得，$0\leq a\leq 1$；故选 $A$。

【2017・合肥模拟】若函数 $f(x)=log_{3a}[(a^2-3a)x]$ 在 $(-\infty，0)$ 上是减少的，则实数 $a$ 的取值范围是多少？

分析：令 $g(x)=(a^2-3a)x$，由于 $g(x)>0$ 在区间 $(-\infty，0)$ 上要恒成立，

则有 $a^2-3a<0$，这样内函数 $g(x)$ 只能单调递减，复合函数 $f(x)=log_{3a}g(x)$ 是单调递减的，

所以外函数必须是单调递增的，故 $3a>1$，由 $\begin{cases}a^2-3a<0\\3a>1\end{cases}$，

解得 $\cfrac{1}{3}<a<3$，故 $a\in(\cfrac{1}{3}，3)$。

【2021 届高三文科数学二轮资料用题】若定义在 $[1,2]$ 上的函数 $f(x)=\log _{a}(6-ax)$ 为减函数，且 $2 f(x) \leqslant 3^{\log _{3} 4}$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是________________.

解析：由于外函数的特性，$a>0$ 且 $a\neq 1$，且复合函数 $f(x)=\log _{a}(6-ax)$ 为减函数，

故由复合函数的性质得 $a>1$， 则由定义域可知 当 $x \in[1,2]$ 时，由 $6-a x>0$ 恒成立，

得到， $6-2a>0$， 解得 $a<3$；

又由于 $2f(x)\leqslant 3^{\log _{3} 4}$ 恒成立， 即 $f(x)\leqslant 2$ 恒成立.

即 $f(x)_{max}\leqslant 2$，又 $f(x)_{max}=f(1)$，即得到 $\log _{a}(6-a)\leqslant 2$

即 $\log _{a}(6-a)\leqslant \log_{a}a^2$，由于 $a>1$，

得到 $6-a\leqslant a^2$，解得 $a\leqslant -3$ 或 $a\geqslant 2$

综上所述，实数 $a$ 的取值范围为 $[2，3)$.

【2018 湖南张家界三模用题】若函数 $f(x)=log_m\cfrac{4x^2+m}{x}(m>0，m\neq 1)$ 在 $[2,3]$ 上单调递增，则 $m$ 的取值范围是【】

$A.(1，36]$ $B.[36，+\infty)$ $C.(1，16]\cup[36，+\infty)$ $D.(1，16]$

分析：令内函数为 $g(x)=\cfrac{4x^2+m}{x}=4x+\cfrac{m}{x}$，借助对勾函数可知，

函数 $g(x)$ 在 $(0，\cfrac{\sqrt{m}}{2}]$ 上单调递减，在 $[\cfrac{\sqrt{m}}{2}，+\infty)$ 上单调递增；

由于复合函数 $f(x)$ 在 $[2,3]$ 上单调递增，则可能有两种情形：

其一为外函数单调递减且内函数单调递减，其二为外函数单调递增且内函数单调递增，

则只需要满足 $\left\{\begin{array}{l}{0<m<1}\\{3\leqslant \cfrac{\sqrt{m}}{2}}\end{array}\right.$ 或 $\left\{\begin{array}{l}{m>1}\\{\cfrac{\sqrt{m}}{2}\geqslant 2}\end{array}\right.$

解得 $m\in \varnothing$ 或 $1<m\leqslant 16$，即 $m\in (1，16]$，故选 $D$.

【2017 凤翔中学高三理科第二次月考第 9 题】若函数 $f(x)=log_a^\;(6-ax)$ 在 $[0，2]$ 上为减函数，则实数 $a$ 的取值范围是【】

$A.[3，+\infty)$ $B.(0，1)$ $C.(1，3]$ $D.(1，3)$

分析：令 $g(x)=6-ax$，像这类题目既要考虑单调性，还要考虑定义域，

易错之处就是只考虑单调性而不顾及定义域。

由题目可知必有 $a>0$，故函数 $g(x)$ 单调递减，

考虑定义域时只要最小值 $g(2)>0$ 即可，再考虑外函数必须是增函数，故 $a>1$，

结合 $g(2)>0$，解得 $1<a<3$，故选 $D$。

• 复合函数的求导

①设 $f(x)=sin(2x+1)$，求导函数 $f'(x)$；

分析：我们目前一般只涉及一次复合的函数如 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$，则复合函数为 $y=f[g(x)]$，$[f(g(x))]'=f'[g(x)]\cdot g'(x)$；

令 $\phi=2x+1$，则 $y=f(x)=sin\phi$，故 $f'(x)=y'_x=y'_{\phi}\cdot \phi'_x=cos\phi\cdot 2=2cos(2x+1)$；

②设 $g(x)=ln(x^2+3x)$，求导函数 $g'(x)$；

分析：$g'(x)=\cfrac{1}{x^2+3x}\cdot (x^2+3x)'=\cfrac{2x+3}{x^2+3x}$；

说明：函数 $f(x)=x^2\pm lnx$，不是复合函数，只是两个函数 $y=x^2$ 与函数 $y=lnx$ 之间用四则运算构成的一个新函数。

③[抽象复合函数的求导] 设 $g(x)=x\cdot f(2x)$，求 $g'(x)$

分析：$g'(x)=[x\cdot f(2x)]'=x'\cdot f(2x)+x\cdot f'(2x)\cdot (2x)'=f(2x)+2x\cdot f'(2x)$

• 注意：复合函数求导时的运算，如对 $y=ln(\cfrac{1+x}{1-x})$ 直接求导，不如变形为 $y=ln(1+x)-ln(1-x)$ 后求导；

若 $f(x)=e^{-x}$，则 $f'(x)=-e^{-x}$；若 $f(x)=e^{2x}$，则 $f'(x)=2e^{2x}$；

若 $f(x)=cos(2x+\cfrac{\pi}{3})$，则 $f'(x)=-2sin(2x+\cfrac{\pi}{3})$；

若已知 $f(2x+3)$，则 $[f(2x+3)]'=2f'(2x+3)$；

• 已知复合函数的定义域或值域为 $R$，求参数的取值范围；

已知函数 $f(x)=ln(x^2+2ax-a)$，

①如果函数的定义域是 $R$，求参数 $a$ 的取值范围；

预备：先想一想，这个函数的定义域应该怎么求解？

分析：由于函数的定义域是 $R$，说明对任意的 $x\in R$，都能使得 $g(x)=x^2+2ax-a>0$，

转化为二次函数恒成立问题了，(此时至少可以考虑数形结合或者恒成立分离参数)

这里用数形结合，函数 $g(x)$ 开口向上，和 $x$ 轴没有交点，则 $\Delta <0$，

即 $\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)<0$，解得 $a\in (-1，0)$。

②如果函数的值域是 $R$，求参数 $a$ 的取值范围；

分析：如右图所示，要使得函数 $f(x)$ 的值域是 $R$，说明内函数 $g(x)=x^2+2ax-a$ 必须要能取遍所有的正数，结合下图，

如果有一部分正实数不能取到，那么函数 $f(x)$ 的值域就不会是 $R$，这样只能是函数 $g(x)$ 的 $\Delta \ge 0$，

而不能是 $\Delta <0$，注意现在题目要求是值域为 $R$，而不是定义域为 $R$，

因此必须满足条件 $\Delta=(2a)^2-4\times 1\times(-a)\ge 0$，解得 $a\in \{a\mid a\leq -1 ，a\ge 0\}$。

下图是参数 $a\in [-3，3]$ 时的两个函数图像的动态变化情况；

下图是参数 $a\in (-1，0)$ 时的两个函数图像的动态变化情况；