高中函数概念的教学思路

公式定理💯随心记

【棱台体积公式】文字语言：棱台体积等于高与上下底面积和的平均值相乘。符号语言：$V=\cfrac {1}{3} h (S_1+\sqrt {S_1S_2}+S_2)$，其中 $S_1$、$S_2$ 为上下底面积，$h$ 为高

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前情概要

请注意，新高考中已经删除了映射概念。

函数概念

函数的概念有两个，其一为初中的定义，称为传统定义，其二为高中的定义，称为近代定义。

传统定义：设在某个运动变化过程中有两个变量 \(x\) 、\(y\)，如果对于 \(x\) 在某一范围内的每一个确定的值， \(y\) 都有唯一确定的值与它对应，那么就称 \(y\) 是 \(x\) 的函数， \(x\) 叫做自变量。我们将自变量 \(x\) 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量 \(x\) 对应的 \(y\) 的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

近代定义：设 \(A\) ，\(B\) 都是非空的数集，\(f：x→y\) 是从 \(A\) 到 \(B\) 的一个对应法则，那么从 \(A\) 到 \(B\) 的映射 \(f：A→B\) 就叫做函数，记作 \(y=f(x)\)，其中 \(x∈A\)， \(y∈B\)，原象的集合 \(A\) 叫做函数 \(f(x)\) 的定义域，象的集合 \(C\) 叫做函数 \(f(x)\) 的值域，显然有 \(C\subseteq B\) 由于集合 \(B\) 中的元素不要求每一个都有原像的，而集合 \(A\) 中的每一个元素必须都有像，而且必须唯一；\(\quad\)。

• 对函数概念的理解

函数的两个定义本质是一致的，只是叙述概念的出发点不同，传统定义是从运动变化的观点出发，而近代定义是从集合、映射的观点出发。这样，就不难得知函数实质是从非空数集 A 到非空数集 B 的一个特殊的映射。

概念理解

基于对应基础的函数概念的理解 [近代定义]

（1）首先需要先搞清楚对应的概念，

关于对应的概念，我们基于蜜蜂采蜜的生活常识来理解，可以一只蜜蜂采一朵花（称为 “一对一” 的对应），

可以一只蜜蜂采多朵花（称为 “一对多” 的对应），还可以多只蜜蜂采一朵花（称为 “多对一” 的对应）

即对应有一对一，一对多和多对一三种对应关系。

（2）映射

能够称为映射的对应只有一对一和多对一两种，其中一对多不能称为映射，

映射 \(f：A\rightarrow B\) 和映射 \(f：B\rightarrow A\) 是不一样的。

集合 \(A，B\) 不一定是数集，可以是图形集，式集，点集，向量集等，

（3）函数

非空数集 \(A\) 到非空数集 \(B\) 的映射 \(f：A\rightarrow B\) 就称为函数，记为 \(y=f(x)\)。

• 符号 \(y=f(x)\) 即是 “\(y\) 是 \(x\) 的函数” 的数学表示，

应理解为：\(x\) 是自变量，它是法则所施加的对象；\(f\) 是对应法则，它可以是一个或几个解析式，可以是图象、表格，也可以是文字描述；

\(y\) 是自变量的函数，当 \(x\) 为允许的某一具体值时，相应的 \(y\) 值为与该自变量值对应的函数值，

当 \(f\) 用解析式表示时，则解析式为函数解析式。\(y=f(x)\) 仅仅是函数符号，不是表示 “\(y\) 等于 \(f\) 与 \(x\) 的乘积”，

\(f(x)\) 也不一定是解析式，在研究函数时，除用符号 \(f(x)\) 外，还常用 \(g(x)\)，\(F(x)\)，\(G(x)\) 等符号来表示。

（4）映射与函数的关系：

由关系图可以看出，函数是映射的特殊情况，映射是函数的拓展和推广。

函数是特殊的映射，比如 \(f：A\rightarrow B\)，其特殊性有以下两点：

①函数是从非空数集 \(A\) 到非空数集 \(B\) 的映射；

②集合 \(B\) 中的每一个元素都有原像，所以 \(A\) 是定义域，\(B\) 是值域。

典例剖析

下列图形中可以表示为以 \(M=\{x\mid 0\leqslant x\leqslant 1\}\) 为定义域，以 \(N=\{y\mid 0\leqslant y\leqslant 1\}\) 为值域的函数的是【\(\quad\)】

解析：由图像，很明显能看出来选项 \(A\) 不满足值域要求，选项 \(B\) 不满足定义域要求，选项 \(C\) 满足定义域和值域的要求，而选项 \(D\) 直接就不满足函数的要求，它是对应里面的一对多，连映射都算不上，故根本就不是函数，这样我们从 形 上也能进一步理解函数的概念。故选 \(C\) 。

已知集合 \(A=\{(x,y)\mid y=f(x)\}\)，集合 \(B=\{(x,y)\mid x=1\}\)，则 \(A\cap B\) 中元素的个数为【\(\quad\)】

$A. 必有 1 个 $ $B.1 个或 2 个 $ $C. 至多 1 个 $ $D. 可能 2 个以上 $

分析：由函数的概念可知，从非空数集到非空数集的映射中，一对一和多对一的映射能上升为函数，但是一对多的映射不能上升为函数，体现在形上，即直线 \(x=a\)(\(a\) 为常数) 与函数 \(y=f(x)\) 的图像有 \(0\) 个或 \(1\) 个交点，故本题目就是用数学语言刻画的这个意思，故本题选 \(C\)。

【映射个数和函数个数模型】给定集合 \(A=\{1，2，3\}\)，集合 \(B=\{a，b，c，d\}\) ，求映射 \(f:A \rightarrow B\) 的个数和映射 \(f:B \rightarrow A\) 的个数。

分析：依据映射的概念，映射 \(f:A \rightarrow B\) 需要给集合 \(A\) 中的每一个元素 (原像)，都找一个确定的对应对象 (像)。

此时注意，原像必须有与之对应的唯一的像，但是像不一定必须有原像和她对应。

我们分步完成：先给元素 \(1\) 分配对象，每次取一个有 \(a、b、c、d\) 四种选择；

再给元素 \(2\) 分配对象，每次取一个也有 \(a、b、c、d\) 四种选择；

最后给元素 \(3\) 分配对象，每次取一个也有 \(a、b、c、d\) 四种选择，

允许出现元素 \(1、2、3\) 都对应到元素 \(a\) 上而其他元素没有原像与之对应的情形出现；

利用乘法原理，映射 \(f:A \rightarrow B\) 共有 \(4\times 4\times4=4^3\) 个，即 \((cardB)^{cardA}\) 个。

同理，映射 \(f:B \rightarrow A\) 共有 \(3^4\) 个，即 \((cardA)^{cardB}\) 个。

【映射个数和函数个数模型】给定集合 \(A=\{1，2，3\}\)，集合 \(B=\{a，b，c\}\) ，求一一映射 \(f：A \rightarrow B\) 的个数和一一映射 \(f：B \rightarrow A\) 的个数。

先分析一一映射 \(f:A \rightarrow B\) 的个数，由于是一一映射，类似有 3 人坐 3 个凳子，故有 \(A_3^3=6\) 个。

同理，一一映射 \(f：B \rightarrow A\) 的个数也是 \(6\) 种。