例说数学知识积累的重要性

典型案例

【2018\(\cdot\)太原模拟，来源于凤中2019理科资料微课时练习三的第6题】已知命题\(p\)：\(\exists x_0\in R\)，\(e^{x_0}-mx_0=0\)，命题\(q\)：\(\forall x\in R\)，\(x^2+mx+1\ge 0\)，若\(p\lor(\neg q)\)为假命题，求实数\(m\)的取值范围。

解析：由复合命题真值表可知，\(p\lor(\neg q)\)为假命题，

则\(p\)和\(\neg q\)都为假命题，即\(p\)假\(q\)真。

先说命题\(q\)：\(\forall x\in R\)，\(x^2+mx+1\ge 0\)，为真命题，

则属于恒成立命题，由\(\Delta=m^2-4\leq 0\)，解得\(-2\leq m\leq 2\)；

即\(q\)为真，则有\(-2\leq m\leq 2\)；

以下重点研究命题\(p\)，而由题目可知，

\(\neg p\)：\(\forall x\in R\)，\(e^x-mx \neq 0\)，为真命题。

即方程\(e^x-mx =0\)无实根，此时准备分离参数：

思路一：方程\(mx= e^x\) 无实根，由不完全分离参数法，即函数\(y=e^x\)和函数\(y=mx\)的图像没有交点。如图所示，

设直线\(y=mx\)与曲线\(y=e^x\)相切于点\(P(x_0，y_0)\)，

则\(\quad\left\{\begin{array}{l}{m=e^{x_0}①}\\{y_0=e^{x_0}②}\\{y_0=mx_0③}\end{array}\right.\) \(\quad\quad\)释难列方程的来源是：从斜率相等角度，从切点在曲线上的角度，从切点在直线上的角度

解得切点坐标为\(P(1，e)\)，\(m=e\)，即二者相切时的斜率为\(e\)，

故由图可知，两个函数图像没有交点时，\(0\leq m < e\)。

思路二：方程\(m=\cfrac{e^x}{x}\)无实根，由完全分离参数法，即函数\(y=m\)和函数\(y=\cfrac{e^x}{x}\)的图像没有交点。

令\(g(x)=\cfrac{e^x}{x}\)，下面用导数研究其单调性，定义域为\((-\infty，0)\cup(0，+\infty)\)，

\(g'(x)=\cfrac{e^x\cdot x-e^x\cdot 1}{x^2}=\cfrac{e^x(x-1)}{x^2}\)，

则\(x\in (-\infty，0)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，\(x\in (0，1)\)时，\(g'(x)<0\)，\(g(x)\)单调递减，

\(x\in (1，+\infty)\)时，\(g'(x)>0\)，\(g(x)\)单调递增，且\(g(1)=\cfrac{e^1}{1}=e\)，

在同一个坐标系中做出函数\(y=m\)和函数\(g(x)=\frac{e^x}{x}\)做函数\(g(x)=\frac{e^x}{x}\)的图像时，务必要注意函数值的正负，一般来说当函数中包含有\(e^x\)，\(\ln x\)时，做函数的图像就必须特别注意函数值的正负。\(\quad\)的图像，

由图像可知，两个函数图像没有交点时，\(0 \leq m < e\)

故\(e^x-mx\neq 0\)时，得到\(0\leq m<e\)，此时\(p\)为假，

综上，\(p\)为假且\(q\)为真时，

必有\(\left\{\begin{array}{l}{-2\leq m\leq 2}\\{ 0\leq m<e}\end{array}\right.\)

故\(0\leq m\leq 2\)，即实数\(m\)的取值范围为\([0，2]\)。End.

总结提炼

• 由本题目的顺利求解，我们都学到了哪些数学知识：

①简单命题的真假判断；复合命题真值表；

②函数与方程的相关知识；三个高频的等价转化关系；

\(f(x)-g(x)=0\)的根的个数；等于函数\(h(x)=f(x)-g(x)\)的零点个数；也等于函数\(y=f(x)\)与函数\(y=g(x)\)的图像的交点个数；

③导数法研究函数的单调性，做函数的简图；

④求曲线的切线；列、解相关的方程组；

• 由本题目的求解我们得到的数学经验有哪些，能提升哪些数学素养：

①将命题转化为恒成立和能成立命题；

②数与形的不断转化；

③分离参数的常用方法：

• 本题目还可以做哪些变形拓展：

• \(\exists x\in R\)，使得方程\(e^x-mx=0\)有解，求参数\(m\)的取值范围。\((-\infty，0)\cup [e，+\infty)\)；
• 若方程\(e^x-mx=0\)的解集不是空集，求参数\(m\)的取值范围。\((-\infty，0)\cup [e，+\infty)\)；
• 用导数方法多练习这些函数的图像，\(y=\cfrac{e^x}{x}\)；\(y=x\cdot e^x\)；\(y=\cfrac{lnx}{x}\)；\(y=x\cdot lnx\)；
• 函数\(y=e^x\)和函数\(y=x+1\)相切于点\((0，1)\)，你能说明吗？
• 注意函数\(y=kx+1\)，\(y=kx^2\)，\(y=k|x|\)中的\(k\)的作用。