穿针引线法的前世今生

前言

前世方法

• 穿针引线法的前世--零点分区间讨论法

说起穿针引线法，不得不说零点分区间讨论法，比如碰到高次不等式，也有人这样来解。

比如解不等式\((x+1)(x-2)(x+3)>0\)，为便于表述令\(P=(x+1)(x-2)(x+3)\)，

先找到零点\(x=-3，x=-1，x=2\)，然后分区间列表得到

\[\begin{array}{l|ccccccc} x取值范围\quad &x<-3&x=-3&-3<x<-1&x=-1&-1<x<2&x=2 &x>2\\ \hline P值的正负\quad & - & 0 &+& 0 & - & 0 & + \\ \end{array}\]

由表格就可以得到不等式的解集\(\{x\mid -3<x<-1 或x>2\}\)。

这和绝对值不等式的解法中的零点分区间讨论法是一样的。后来有人对此方法做了改进，就得到了穿针引线法。

方法今生

• “穿针引线法”也叫“数轴标根法”，准确的说，应该叫做“序轴序轴：省去原点和单位，只表示数的大小的数轴。序轴上标出的两点中，左边的点表示的数比右边的点表示的数小。标根法”，或“数轴穿根法”或“穿根法”。
• 当高次不等式\(f(x)>0(或<0)\)的左边整式，分式不等式\(\cfrac{\phi(x)}{h(x)}>0(<0)\)的左边分子、分母能分解成若干个一次因式的积\((x-a_1)(x-a_2)\cdots (x-a_n)\)的形式，可把各因式的根标在序轴上，形成若干个区间，最右端的\(f(x)\)，\(\cfrac{\phi(x)}{h(x)}\)的值必须为正值，从右往左通常为正值、负值依次相间，这种解不等式的方法称为序轴标根法。为了形象地体现正负值的变化规律，可以画一条浪线从右上方依次穿过每一根所对应的点，穿过最后一个点后就不再变方向，这种画法俗称“穿针引线法“。很显然，这种方法体现了数形结合思想，所以用起来很方便。

使用步骤

我们以穿针引线法解不等式\(x^3-x+2>2x^2\)为例，加以说明。

第一步：一端化为\(0\)；先将不等式转化为\(f(x)>0\)为什么呢，其实这种方法是利用了高中数学中的“函数与方程”思想，做出函数\(y=f(x)\)和数轴\(y=0\)，利用两个函数图像的交点来解读不等式。所以右端必须化为\(0\)。比如我们将不等式\(x^3-x\)\(+2\)\(>2x^2\)转化为\(x^3\)\(-2x^2\)\(-x+\)\(2>0\)\((<0)\)的形式。

第二步：分解调系数；将不等式\(x^3-2x^2-x+2>0\)分解务必将每一个因式的最高次项的系数调整为正值，比如某不等式分解后为\((2-x)\)\((x+1)\)\((x+3)\)\(>0\)，就必须调整为\((x-2)\)\((x+1)\)\((x+3)\)\(<0\)，附初高中因式分解方法为 \((x-2)\)\((x-1)\)\((x+1)>0\)；

第三步：变等求零点；将上述的不等式\(f(x)>0\)的不等号变成等号即\(f(x)=0\)，求出函数\(f(x)\)的零点；如令\((x-2)(x-1)(x+1)=0\)；得到零点为\(x=-1，x=1，x=2\)

第四步：序轴并标根；在序轴上从左到右按照大小依次标出各根\(-1，1，2\)。

第五步：划线穿序轴；以序轴为标准，从“最右端的根\(2\)”的右上方穿过序轴，往左下画线，然后又穿过“次右根\(1\)”上去，一上一下依次穿过各根。

第六步：读图写解集；观察不等号，如果不等号为\(>\)，则取数轴上方，穿根线以内的范围；如果不等号为\(<\)，则取数轴下方，穿根线以内的范围。

比如不等式\((x-2)(x-1)(x+1)>0\)的解集为\(\{x\mid -1<x<1或x>2\}\)。

• 可以简单记为秘籍口诀：自上而下，自右而左，奇穿偶不穿；

注意事项

使用“穿针引线法”时，常犯以下的几种错误：

①如将不等式分解为\((x+2)(1-x)(x+3)>0\)解直接穿根，错在需要将其调整为\((x+2)(x-1)(x+3)<0\)再穿根；

当然不等式\((x+2)(x^2-1)<0\)也不能直接穿根，因为没有分解到最后；

②没有分清重根的奇偶，比如不等式\((x-0.5)^2(x-1)(x-2)^3>0\)，其中根\(x=0.5\)是二次重根(偶次重根)，根\(x=1\)是一次重根(奇次重根)，根\(x=2\)是三次重根(奇次重根)，故穿根时，在\(x=2\)和\(x=1\)出都是一次穿过，而在根\(x=0.5\)处，是穿而不过，就像蜻蜓点水一样。

③出现不能再分解的二次因式时，简单地放弃“穿针引线”，如\(x(x+1)(x-2)(x^3-1)>0\)也可以用，先化为\(x(x+1)(x-2)(x-1)(x^2+x+1)>0\)，注意到二次三项式\(x^2+x+1\)由于其\(\Delta <0\)，故\(x^2+x+1>0\)恒成立，所以原不等式等价于\(x(x+1)(x-2)(x-1)>0\)，穿针引线法如右图得到解集\(\{x\mid x<-1或0<x<1或x>2\}\)。

④以为只可以用来解高次不等式，不能用来解分式不等式，比如解分式不等式\(\cfrac{x(x-2)}{(x-1)(x+1)}>0\)，利用符号法则，就可以等价转化为\(x(x+1)(x-2)(x-1)>0\)，故解集同上。具体解分式不等式时，我们甚至不需要将其转化为整式不等式，直接穿根就行了。

适用范围

可以用来解高次不等式和分式不等式，当然也可以解一次和二次不等式。等到使用熟练后，我们利用心算能力就可以画图写出解集了。

对应练习

可以使用转化法或者穿根法求解；

解不等式\(x<\cfrac{1}{x}<x^2\)；

分析：先转化为\(\left\{\begin{array}{l}{x<\cfrac{1}{x}①}\\{\cfrac{1}{x}<x^2②}\end{array}\right.\)，再用穿根法分别求解，

解①\(\cfrac{x^2-1}{x}<0\)得到\(x<-1\)或\(0<x<1\)；解②\(\cfrac{x^3-1}{x}>0\)得到\(x<0\)或\(x>1\)，

①②求交集得到，解集为\((-\infty，-1)\).

解不等式\(\cfrac{2}{x+1}<1\)；

提示：\((-\infty,-1)\cup(1,+\infty)\)

解不等式\(\cfrac{x-2}{x^2-1}<0\)；

提示：\((-\infty,-1)\cup(1,2)\)

解不等式\(\cfrac{x^2-x-6}{x}\leqslant 0\)；

提示：\((-\infty,-2]\cup(0,3]\)

解不等式\(\cfrac{6}{x-4}+1<0\)；

提示：\((-2,4)\)

解不等式\((x^2-4)(x-6)^2\leqslant 0\)；

提示：\([-2,2]\cup\{6\}\);

相关阅读

1、因式分解法参见打开博文的试商法，分组分解法，多项式除法

2、零点分区间讨论法解绝对值不等式

另类应用

穿根法做出的图像其实就是函数的大致示意图，既然如此，我们就可以利用穿根法来做出导函数的图像，从而判断原函数的增减性。

① 比如函数\(f(x)=(x+1)^2\cdot (x-2)\)，我们可以做出函数的图像，

② 又或者，\(\phi'(x)=x^2(x-2)\)，可以做出 \(y=x^2(x-2)\) 的简单示意图，从而可以知道 \(\phi'(x)\) 的正负，则 \(\phi(x)\) 的增减性就可以判断了。

③ 比如，函数的导函数为 \(g'(x)=\cfrac{1}{2}x(x+1)(x+4)e^x\) ，则用穿根法做出大致示意图，可知单调递增区间为 \((-4,-1)\) 和 \((0,+\infty)\)，单调递减区间为 \((-\infty,-4)\) 和 \((-1,0)\) 。